ГДЗ: Упражнение 258 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Левая часть: \( 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

Правая часть: \( \frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \).

Переписываем уравнение с основанием \( \frac{3}{5} \):
\( \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2 - 12} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\right)^{\frac{x}{2} + 1,5} \)

Применяем свойство степени \((a^m)^n = a^{mn} \):
\( \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2 - 12} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2 \cdot (\frac{x}{2} + 1,5)} \)
\( \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2 - 12} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-x - 3} \)

Приравниваем показатели:
\( x^2 - 12 = -x - 3 \)

Решаем квадратное уравнение:
\( x^2 + x - 9 = 0 \)

Находим корни по формуле:
\( D = 1^2 - 4(1)(-9) = 1 + 36 = 37 \)
\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{2} \)

Упрощаем левую часть: \( \sqrt{0,25} = 0,5 = \frac{1}{2} \).
\( 16^{0,5x} = (2^4)^{\frac{1}{2}x} = 2^{4 \cdot \frac{1}{2}x} = 2^{2x} \)

Упрощаем правую часть: \( 2 \sqrt{2x+1} = 2^1 \cdot (2x+1)^{\frac{1}{2}} \).

Область определения: Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2x+1 \ge 0 \implies x \ge -\frac{1}{2} \).

Переписываем уравнение:
\( 2^{2x} = 2 \sqrt{2x+1} \)

Поскольку правая часть содержит квадратный корень (который неотрицателен), возведем обе части в квадрат (при условии, что обе части положительны, что верно, так как \( 2^{2x} > 0 \) и \( 2\sqrt{2x+1} \ge 0 \) в ОДЗ):
\( (2^{2x})^2 = (2 \sqrt{2x+1})^2 \)
\( 2^{4x} = 4(2x+1) \)

Решение этого уравнения невозможно получить алгебраическими методами, но можно попробовать подобрать корень, исходя из структуры и вероятности целого ответа в учебных задачах.

• При \( x = 0 \): \( 2^{4 \cdot 0} = 1 \); \( 4(2\cdot 0 + 1) = 4 \). \( 1 \neq 4 \).
• При \( x = 1 \): \( 2^{4 \cdot 1} = 16 \); \( 4(2\cdot 1 + 1) = 4(3) = 12 \). \( 16 \neq 12 \).
• При \( x = -\frac{1}{2} \): \( 2^{4 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \); \( 4(2(-\frac{1}{2}) + 1) = 4(0) = 0 \). \( \frac{1}{4} \neq 0 \).

Переформулируем исходное уравнение (до возведения в квадрат):
\( 2^{2x} = 2 \cdot (2x+1)^{\frac{1}{2}} \)
\( 2^{2x-1} = (2x+1)^{\frac{1}{2}} \)

Проверим \( x = 0 \): \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \); \( (1)^{\frac{1}{2}} = 1 \). \( \frac{1}{2} \neq 1 \).

Проверим \( x = 2 \): \( 2^{2 \cdot 2 - 1} = 2^3 = 8 \); \( 2 \sqrt{2 \cdot 2 + 1} = 2 \sqrt{5} \approx 2 \cdot 2.236 \approx 4.472 \). \( 8 \neq 4.472 \).

Похоже, что в формулировке уравнения допущена ошибка, либо требуется неявный корень. Вернемся к исходному уравнению и проверим, что основание \( 16 \) и корень должны быть в правой части. Если в правой части \( 2^{\sqrt{2x+1}} \):
\( 2^{2x} = 2^{\sqrt{2x+1}} \)
\( 2x = \sqrt{2x+1} \)

Решаем иррациональное уравнение \( 2x = \sqrt{2x+1} \). Условия: \( 2x \ge 0 \implies x \ge 0 \) и \( 2x+1 \ge 0 \implies x \ge -\frac{1}{2} \). Итого: \( x \ge 0 \).

Возводим в квадрат:
\( (2x)^2 = 2x+1 \)
\( 4x^2 - 2x - 1 = 0 \)

Находим корни:
\( D = (-2)^2 - 4(4)(-1) = 4 + 16 = 20 \)
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4} \)

Проверяем условие \( x \ge 0 \):
\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} > 0 \) (подходит)
\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{4} < 0 \) (посторонний корень)

Предположим, что в условии опечатка, и оно должно быть \( 16^{\sqrt{0,25} \cdot x} = 2^{\sqrt{2x+1}} \).