ГДЗ: Упражнение 251 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразуем \( 2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot \frac{1}{8} \).

Подставляем в уравнение и выносим \( 2^x \):
\( 2^x + 2^x \cdot \frac{1}{8} = 18 \)
\( 2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 18 \)

Вычисляем сумму в скобках:
\( 2^x \left(\frac{8}{8} + \frac{1}{8}\right) = 18 \)
\( 2^x \cdot \frac{9}{8} = 18 \)

Выражаем \( 2^x \):
\( 2^x = 18 \cdot \frac{8}{9} \)
\( 2^x = 2 \cdot 8 \)
\( 2^x = 16 \)

Представляем \( 16 = 2^4 \) и приравниваем показатели:
\( 2^x = 2^4 \)
\( x = 4 \)

Преобразуем степени к основанию \( 3^{x-1} \):
\( 3^x = 3^{x-1+1} = 3^{x-1} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{x-1} \)
\( 3^{x+1} = 3^{x-1+2} = 3^{x-1} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{x-1} \)

Подставляем в уравнение:
\( 3 \cdot 3^{x-1} + 9 \cdot 3^{x-1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 13 \)

Выносим \( 3^{x-1} \) за скобки:
\( 3^{x-1} (3 + 9 - 2) = 13 \)
\( 3^{x-1} \cdot 10 = 13 \)

Выражаем \( 3^{x-1} \):
\( 3^{x-1} = \frac{13}{10} = 1,3 \)

Решаем с помощью логарифма:
\( x - 1 = \log_3 1,3 \)
\( x = 1 + \log_3 1,3 \)

Преобразуем степени:
\( 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x \)
\( 3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x \)

Подставляем в уравнение:
\( 2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 6 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3^x) - 3^x = 9 \)
\( 6 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x - 1 \cdot 3^x = 9 \)

Выносим \( 3^x \) за скобки:
\( 3^x (6 - 2 - 1) = 9 \)
\( 3^x \cdot 3 = 9 \)

Выражаем \( 3^x \):
\( 3^x = \frac{9}{3} \)
\( 3^x = 3 \)

Приравниваем показатели (так как \( 3 = 3^1 \)):
\( x = 1 \)

Преобразуем степени:
\( 5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x \)
\( 5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 5^x \)

Подставляем в уравнение:
\( 5 \cdot 5^x + 3 \cdot (\frac{1}{5} \cdot 5^x) - 6 \cdot 5^x + 10 = 0 \)
\( 5 \cdot 5^x + \frac{3}{5} \cdot 5^x - 6 \cdot 5^x + 10 = 0 \)

Выносим \( 5^x \) за скобки:
\( 5^x \left(5 + \frac{3}{5} - 6\right) + 10 = 0 \)

Вычисляем сумму в скобках:
\( 5 + \frac{3}{5} - 6 = -1 + \frac{3}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5} \)

Уравнение принимает вид:
\( 5^x \left(-\frac{2}{5}\right) + 10 = 0 \)
\( -\frac{2}{5} \cdot 5^x = -10 \)

Выражаем \( 5^x \):
\( 5^x = -10 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \)
\( 5^x = 25 \)

Представляем \( 25 = 5^2 \) и приравниваем показатели:
\( 5^x = 5^2 \)
\( x = 2 \)