ГДЗ: Упражнение 252 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Перепишем \( 5^{2x} \) как \( (5^x)^2 \):
\( (5^x)^2 - 5^x - 600 = 0 \)

Введем замену: \( t = 5^x \). Учитывая, что \( 5^x > 0 \), должно быть \( t > 0 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( t \):
\( t^2 - t - 600 = 0 \)

Находим корни с помощью дискриминанта или подбором. По теореме Виета: \( t_1 \cdot t_2 = -600 \), \( t_1 + t_2 = 1 \). Корни: \( 25 \) и \(-24\).
\( D = (-1)^2 - 4(1)(-600) = 1 + 2400 = 2401 \)
\( \sqrt{D} = 49 \)
\( t_{1,2} = \frac{1 \pm 49}{2} \)
\( t_1 = \frac{50}{2} = 25 \)
\( t_2 = \frac{-48}{2} = -24 \)

Возвращаемся к замене. Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -24 \) — посторонний.

Подставляем \( t_1 = 25 \):
\( 5^x = 25 \)
\( 5^x = 5^2 \)
\( x = 2 \)

Перепишем \( 9^x \) как \( (3^2)^x = (3^x)^2 \):
\( (3^x)^2 - 3^x - 6 = 0 \)

Введем замену: \( t = 3^x \). Учитывая, что \( 3^x > 0 \), должно быть \( t > 0 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( t \):
\( t^2 - t - 6 = 0 \)

Находим корни (по теореме Виета: \( t_1 \cdot t_2 = -6 \), \( t_1 + t_2 = 1 \)):
\( t_1 = 3 \)
\( t_2 = -2 \)

Возвращаемся к замене. Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -2 \) — посторонний.

Подставляем \( t_1 = 3 \):
\( 3^x = 3 \)
\( 3^x = 3^1 \)
\( x = 1 \)

Преобразуем \( 9^{x-1} \):
\( 9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot (3^x)^2 \)

Подставляем в уравнение:
\( 3^x + \frac{1}{9} \cdot (3^x)^2 - 810 = 0 \)

Введем замену: \( t = 3^x \), \( t > 0 \).
\( t + \frac{1}{9} t^2 - 810 = 0 \)

Умножим уравнение на \( 9 \) для избавления от дроби:
\( t^2 + 9t - 7290 = 0 \)

Находим корни с помощью дискриминанта:
\( D = 9^2 - 4(1)(-7290) = 81 + 29160 = 29241 \)
\( \sqrt{D} = 171 \)
\( t_{1,2} = \frac{-9 \pm 171}{2} \)
\( t_1 = \frac{162}{2} = 81 \)
\( t_2 = \frac{-180}{2} = -90 \)

Возвращаемся к замене. Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -90 \) — посторонний.

Подставляем \( t_1 = 81 \):
\( 3^x = 81 \)
\( 3^x = 3^4 \)
\( x = 4 \)

Преобразуем слагаемые к основанию \( 2^x \):
\( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \)
\( 2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x \)

Подставляем в уравнение:
\( (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 80 = 0 \)

Введем замену: \( t = 2^x \), \( t > 0 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( t \):
\( t^2 + 2t - 80 = 0 \)

Находим корни (по теореме Виета: \( t_1 \cdot t_2 = -80 \), \( t_1 + t_2 = -2 \)):
\( t_1 = 8 \)
\( t_2 = -10 \)

Возвращаемся к замене. Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -10 \) — посторонний.

Подставляем \( t_1 = 8 \):
\( 2^x = 8 \)
\( 2^x = 2^3 \)
\( x = 3 \)