Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 322

ГДЗ: Упражнение 322 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105
Глава: Глава 4
Параграф: § 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

322 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = \log_2 x \)

Шаг 1: Определяем тип функции.

\n
    \n
  • Это логарифмическая функция с основанием \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция является возрастающей.
    • \n
\n

Шаг 2: Находим ключевые точки.

\n
    \n
  • Точка пересечения с осью \( Ox \): \( \log_2 x = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1 \). Точка \( (1; 0) \).
    • \n
  • Дополнительные точки: \n
      \n
    • При \( x = 2 \): \( y = \log_2 2 = 1 \). Точка \( (2; 1) \).
      • \n
    • При \( x = 4 \): \( y = \log_2 4 = 2 \). Точка \( (4; 2) \).
      • \n
    • При \( x = \frac{1}{2} \): \( y = \log_2 \frac{1}{2} = -1 \). Точка \( (\frac{1}{2}; -1) \).
      • \n
    • При \( x = \frac{1}{4} \): \( y = \log_2 \frac{1}{4} = -2 \). Точка \( (\frac{1}{4}; -2) \).
      • \n
    • \n
\n

Шаг 3: Определяем асимптоту.

\n
    \n
  • Ось \( Oy \) (\( x = 0 \)) является вертикальной асимптотой.
    • \n
\n

Шаг 4: Построение графика.

\n
    \n
  • График проходит через точки \( (1; 0) \), \( (2; 1) \), \( (4; 2) \) и приближается к оси \( Oy \) при \( x \to 0 \).
    • \n
2) \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \)

Шаг 1: Определяем тип функции.

\n
    \n
  • Это логарифмическая функция с основанием \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), функция является убывающей.
    • \n
\n

Шаг 2: Находим ключевые точки.

\n
    \n
  • Точка пересечения с осью \( Ox \): \( \log_{\frac{1}{2}} x = 0 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^0 = 1 \). Точка \( (1; 0) \).
    • \n
  • Дополнительные точки: \n
      \n
    • При \( x = \frac{1}{2} \): \( y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1 \). Точка \( (\frac{1}{2}; 1) \).
      • \n
    • При \( x = \frac{1}{4} \): \( y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2 \). Точка \( (\frac{1}{4}; 2) \).
      • \n
    • При \( x = 2 \): \( y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 \). Точка \( (2; -1) \).
      • \n
    • При \( x = 4 \): \( y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 \). Точка \( (4; -2) \).
      • \n
    • \n
\n

Шаг 3: Определяем асимптоту.

\n
    \n
  • Ось \( Oy \) (\( x = 0 \)) является вертикальной асимптотой.
    • \n
\n

Шаг 4: Построение графика.

\n
    \n
  • График проходит через точки \( (1; 0) \), \( (\frac{1}{2}; 1) \), \( (2; -1) \) и приближается к оси \( Oy \) при \( x \to 0 \).
    • \n

Что применять при решении

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.