Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 327

ГДЗ: Упражнение 327 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105
Глава: Глава 4
Параграф: § 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

327 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \log_3 (5x - 1) = \log_3 (3x + 1) \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ (Область допустимых значений).

\n
    \n
  • Аргументы логарифмов должны быть положительными:\n
      \n
    1. \( 5x - 1 > 0 \Rightarrow 5x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{5} = 0,2 \).
      2. \n
    2. \( 3x + 1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \).
      3. \n
    • \n
  • Общее ОДЗ: \( x > 0,2 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем уравнение.

\n
    \n
  • Если \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), то \( f(x) = g(x) \). \n\[ 5x - 1 = 3x + 1 \]\n\[ 5x - 3x = 1 + 1 \]\n\[ 2x = 2 \]\n\[ x = 1 \]
    • \n
\n

Шаг 3: Проверяем решение по ОДЗ.

\n
    \n
  • Корень \( x = 1 \) удовлетворяет условию \( x > 0,2 \) (\( 1 > 0,2 \)).
    • \n
\n

Ответ: \( x = 1 \).

2) \( \log_2 (x^2 + 3) = \log_2 (3x + 1) \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргументы логарифмов должны быть положительными:\n
      \n
    1. \( x^2 + 3 > 0 \). Это неравенство верно для всех действительных \( x \), так как \( x^2 \geq 0 \).
      2. \n
    2. \( 3x + 1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \).
      3. \n
    • \n
  • Общее ОДЗ: \( x > -\frac{1}{3} \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем уравнение.

\n
    \n
  • Приравниваем аргументы: \n\[ x^2 + 3 = 3x + 1 \]\n\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]
    • \n
  • Решаем квадратное уравнение (например, по Виета или через дискриминант): \n\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]\n\[ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} \]\n\[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]\n\[ x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]
    • \n
\n

Шаг 3: Проверяем решения по ОДЗ.

\n
    \n
  • Корень \( x_1 = 2 \) удовлетворяет условию \( x > -\frac{1}{3} \) (\( 2 > -\frac{1}{3} \)).
    • \n
  • Корень \( x_2 = 1 \) удовлетворяет условию \( x > -\frac{1}{3} \) (\( 1 > -\frac{1}{3} \)).
    • \n
\n

Ответ: \( x = 1 \), \( x = 2 \).

3) \( \log_3 (2x - 3) = 1 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( 2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 1,5 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем уравнение с помощью определения логарифма.

\n
    \n
  • Уравнение \( \log_a b = c \) эквивалентно \( b = a^c \). \n\[ 2x - 3 = 3^1 \]\n\[ 2x - 3 = 3 \]\n\[ 2x = 6 \]\n\[ x = 3 \]
    • \n
\n

Шаг 3: Проверяем решение по ОДЗ.

\n
    \n
  • Корень \( x = 3 \) удовлетворяет условию \( x > 1,5 \) (\( 3 > 1,5 \)).
    • \n
\n

Ответ: \( x = 3 \).

4) \( \log_{7} (x^2 + 3) = 2 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( x^2 + 3 > 0 \). Это верно для всех действительных \( x \).
    • \n
  • ОДЗ: \( x \in \mathbf{R} \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем уравнение с помощью определения логарифма.

\n
    \n
  • Переходим к показательному уравнению: \n\[ x^2 + 3 = 7^2 \]\n\[ x^2 + 3 = 49 \]\n\[ x^2 = 49 - 3 \]\n\[ x^2 = 46 \]\n\[ x = \pm \sqrt{46} \]
    • \n
\n

Шаг 3: Проверяем решения по ОДЗ.

\n
    \n
  • Оба корня \( x = \sqrt{46} \) и \( x = -\sqrt{46} \) принадлежат ОДЗ \( \mathbf{R} \).
    • \n
\n

Ответ: \( x = \sqrt{46} \), \( x = -\sqrt{46} \).

5) \( \lg (3x - 1) = 0 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( 3x - 1 > 0 \Rightarrow 3x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем уравнение с помощью определения логарифма.

\n
    \n
  • Логарифм \( \lg \) имеет основание 10. \n\[ 3x - 1 = 10^0 \]\n\[ 3x - 1 = 1 \]\n\[ 3x = 2 \]\n\[ x = \frac{2}{3} \]
    • \n
\n

Шаг 3: Проверяем решение по ОДЗ.

\n
    \n
  • Корень \( x = \frac{2}{3} \) удовлетворяет условию \( x > \frac{1}{3} \) (\( \frac{2}{3} > \frac{1}{3} \)).
    • \n
\n

Ответ: \( x = \frac{2}{3} \).

6) \( \lg (2 - 5x) = 1 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( 2 - 5x > 0 \Rightarrow 2 > 5x \Rightarrow x < \frac{2}{5} = 0,4 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем уравнение с помощью определения логарифма.

\n
    \n
  • Логарифм \( \lg \) имеет основание 10. \n\[ 2 - 5x = 10^1 \]\n\[ 2 - 5x = 10 \]\n\[ -5x = 10 - 2 \]\n\[ -5x = 8 \]\n\[ x = -\frac{8}{5} = -1,6 \]
    • \n
\n

Шаг 3: Проверяем решение по ОДЗ.

\n
    \n
  • Корень \( x = -1,6 \) удовлетворяет условию \( x < 0,4 \) (\( -1,6 < 0,4 \)).
    • \n
\n

Ответ: \( x = -1,6 \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.