Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 324

ГДЗ: Упражнение 324 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105
Глава: Глава 4
Параграф: § 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

324 упражнение:

Изобразить схематически график функции:

1) \( y = \lg x \)

Шаг 1: Определяем основание.

\n
    \n
  • \( y = \lg x \) — десятичный логарифм, основание \( a = 10 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Определяем свойства.

\n
    \n
  • Так как \( a = 10 > 1 \), функция возрастающая.
    • \n
  • График проходит через точку \( (1; 0) \).
    • \n
  • Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
    • \n
\n

Шаг 3: Схематическое изображение.

\n
    \n
  • График возрастает, пересекает ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \), и "прижимается" к оси \( Oy \) при \( x \to 0 \).
    • \n
2) \( y = \ln x \)

Шаг 1: Определяем основание.

\n
    \n
  • \( y = \ln x \) — натуральный логарифм, основание \( a = e \approx 2,718 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Определяем свойства.

\n
    \n
  • Так как \( a = e > 1 \), функция возрастающая.
    • \n
  • График проходит через точку \( (1; 0) \).
    • \n
  • Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
    • \n
\n

Шаг 3: Схематическое изображение.

\n
    \n
  • График выглядит как \( y = \log_{10} x \), но из-за меньшего основания (\( e < 10 \)), он будет возрастать быстрее при \( x > 1 \) и медленнее приближаться к \( -\infty \) при \( x \to 0 \). В точке \( (1; 0) \) они пересекаются.
    • \n
3) \( y = \log_{0,4} x \)

Шаг 1: Определяем основание.

\n
    \n
  • Основание \( a = 0,4 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Определяем свойства.

\n
    \n
  • Так как \( 0 < 0,4 < 1 \), функция убывающая.
    • \n
  • График проходит через точку \( (1; 0) \).
    • \n
  • Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
    • \n
\n

Шаг 3: Схематическое изображение.

\n
    \n
  • График убывает, пересекает ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \), и "прижимается" к оси \( Oy \) при \( x \to 0 \).
    • \n
4) \( y = \log_{\frac{1}{5}} x \)

Шаг 1: Определяем основание.

\n
    \n
  • Основание \( a = \frac{1}{5} = 0,2 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Определяем свойства.

\n
    \n
  • Так как \( 0 < 0,2 < 1 \), функция убывающая.
    • \n
  • График проходит через точку \( (1; 0) \).
    • \n
  • Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( Oy \)).
    • \n
\n

Шаг 3: Схематическое изображение.

\n
    \n
  • График убывает, пересекает ось \( Ox \) в точке \( (1; 0) \). Из-за меньшего основания (\( 0,2 < 0,4 \)) он будет убывать быстрее, чем \( y = \log_{0,4} x \).
    • \n

Что применять при решении

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.