Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 334

ГДЗ: Упражнение 334 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105

Глава:	Глава 4
Параграф:	§ 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

334 упражнение:

Построить график функции, найти ее область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:

1) \( y = |\log_3 x| \)

Шаг 1: Построение графика.

График \( y = |\log_3 x| \) получается из графика \( y = \log_3 x \) (возрастающая функция) путем отражения той части графика, где \( y < 0 \) (т.е. при \( 0 < x < 1 \)), симметрично относительно оси \( Ox \).
Часть графика при \( x \geq 1 \) остается без изменений.

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

Аргумент логарифма: \( x \). Должен быть \( x > 0 \).
\[ D(y) = (0; +\infty) \]

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

Так как \( y \) - модуль логарифма, все значения \( y \geq 0 \).
\[ E(y) = [0; +\infty) \]

Шаг 4: Промежутки монотонности.

На интервале \( (0; 1) \): \( \log_3 x < 0 \), поэтому \( y = -\log_3 x = \log_{\frac{1}{3}} x \). Функция убывает.
На интервале \( [1; +\infty) \): \( \log_3 x \geq 0 \), поэтому \( y = \log_3 x \). Функция возрастает.

Ответ:

\( D(y) \): \( (0; +\infty) \)
\( E(y) \): \( [0; +\infty) \)
Монотонность: Убывает на \( (0; 1) \), Возрастает на \( [1; +\infty) \).

2) \( y = \log_3 |x| \)

Шаг 1: Построение графика.

График \( y = \log_3 |x| \) получается из графика \( y = \log_3 x \) (определен при \( x > 0 \)) путем симметричного отражения относительно оси \( Oy \) (из-за \( |x| \)).
График симметричен относительно оси \( Oy \).

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

Аргумент логарифма: \( |x| \). Должен быть \( |x| > 0 \). Это означает \( x \neq 0 \).
\[ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \]

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

Так как \( |x| \in (0; +\infty) \), логарифм принимает все действительные значения.
\[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]

Шаг 4: Промежутки монотонности.

На интервале \( (0; +\infty) \): \( y = \log_3 x \), функция возрастает.
На интервале \( (-\infty; 0) \): \( y = \log_3 (-x) \). С ростом \( x \) от \( -\infty \) до \( 0 \), аргумент \( -x \) убывает от \( +\infty \) до \( 0 \). Так как \( \log_3 u \) возрастает, функция \( \log_3 (-x) \) убывает.

Ответ:

\( D(y) \): \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)
\( E(y) \): \( (-\infty; +\infty) \)
Монотонность: Убывает на \( (-\infty; 0) \), Возрастает на \( (0; +\infty) \).

3) \( y = \log_2 |3 - x| \)

Шаг 1: Построение графика.

График \( y = \log_2 |3 - x| \) получается из \( y = \log_2 |x| \) (см. вар. 2) сдвигом вправо на 3 единицы (\( |x - 3| = |3 - x| \)).
График симметричен относительно вертикальной прямой \( x = 3 \).

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

Аргумент логарифма: \( |3 - x| \). Должен быть \( |3 - x| > 0 \). Это означает \( 3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \).
\[ D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \]

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

\[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]

Шаг 4: Промежутки монотонности.

На интервале \( (3; +\infty) \): \( 3 - x < 0 \), поэтому \( |3 - x| = x - 3 \). \( y = \log_2 (x - 3) \). Функция возрастает.
На интервале \( (-\infty; 3) \): \( 3 - x > 0 \), поэтому \( |3 - x| = 3 - x \). \( y = \log_2 (3 - x) \). С ростом \( x \), аргумент \( 3 - x \) убывает, а \( \log_2 u \) возрастает, поэтому функция убывает.

Ответ:

\( D(y) \): \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \)
\( E(y) \): \( (-\infty; +\infty) \)
Монотонность: Убывает на \( (-\infty; 3) \), Возрастает на \( (3; +\infty) \).

4) \( y = |1 - \log_2 x| \)

Шаг 1: Построение графика.

График \( y = |1 - \log_2 x| = |\log_2 x - 1| \) получается из графика \( y = \log_2 x - 1 \) (см. упр. 332 (1), сдвиг вниз на 1) путем отражения отрицательной части относительно оси \( Ox \).
Корни: \( \log_2 x - 1 = 0 \Rightarrow \log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2 \). График касается оси \( Ox \) в точке \( (2; 0) \).

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

Аргумент логарифма: \( x \). Должен быть \( x > 0 \).
\[ D(y) = (0; +\infty) \]

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

Так как \( y \) - модуль, все значения \( y \geq 0 \).
\[ E(y) = [0; +\infty) \]

Шаг 4: Промежутки монотонности.

На интервале \( (0; 2) \): \( 1 - \log_2 x > 0 \) (так как \( \log_2 x < 1 \)), поэтому \( y = 1 - \log_2 x \). С ростом \( x \), \( \log_2 x \) возрастает, поэтому \( 1 - \log_2 x \) убывает.
На интервале \( [2; +\infty) \): \( 1 - \log_2 x \leq 0 \), поэтому \( y = -(1 - \log_2 x) = \log_2 x - 1 \). С ростом \( x \), \( \log_2 x \) возрастает, поэтому \( \log_2 x - 1 \) возрастает.

Ответ:

\( D(y) \): \( (0; +\infty) \)
\( E(y) \): \( [0; +\infty) \)
Монотонность: Убывает на \( (0; 2) \), Возрастает на \( [2; +\infty) \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).

\( y = \log_a x \)

Область определения логарифмической функции

Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).

\( D(y) = (0; +\infty) \)

Множество значений логарифмической функции

Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.

\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)

Монотонность логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).

Определение логарифма

Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).

\( \log_a b = x \iff a^x = b \)

Свойство логарифмов: Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))

Свойство логарифмов: Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.