Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 328

ГДЗ: Упражнение 328 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105
Глава: Глава 4
Параграф: § 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

328 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \log_4 (1 - x) \)

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

\n
    \n
  • Область определения логарифмической функции требует, чтобы аргумент логарифма был строго положительным.
    • \n
  • Аргумент: \( 1 - x \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • \[ 1 - x > 0 \]\n\[ -x > -1 \]\n\[ x < 1 \]
    • \n
\n

Ответ: Область определения: \( x < 1 \) или \( (-\infty; 1) \).

2) \( y = \log_{0,3} (1 + x) \)

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

\n
    \n
  • Аргумент: \( 1 + x \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • \[ 1 + x > 0 \]\n\[ x > -1 \]
    • \n
\n

Ответ: Область определения: \( x > -1 \) или \( (-1; +\infty) \).

3) \( y = \log_3 (x^2 + 2x) \)

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

\n
    \n
  • Аргумент: \( x^2 + 2x \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • \[ x^2 + 2x > 0 \]\n\[ x(x + 2) > 0 \]
    • \n
  • Находим корни уравнения \( x(x+2) = 0 \): \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -2 \).
    • \n
  • Так как парабола \( y = x^2 + 2x \) направлена ветвями вверх, неравенство \( > 0 \) выполняется вне корней.
    • \n
\n

Шаг 3: Записываем интервалы.

\n
    \n
  • \[ x < -2 \text{ или } x > 0 \]
    • \n
\n

Ответ: Область определения: \( (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).

4) \( y = \log_{\sqrt{2}} (4 - x^2) \)

Шаг 1: Применяем правило ОДЗ для логарифма.

\n
    \n
  • Аргумент: \( 4 - x^2 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • \[ 4 - x^2 > 0 \]\n\[ x^2 < 4 \]\n\[ -2 < x < 2 \]
    • \n
  • Находим корни уравнения \( 4 - x^2 = 0 \): \( x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2 \).
    • \n
  • Так как парабола \( y = 4 - x^2 \) направлена ветвями вниз, неравенство \( > 0 \) выполняется между корнями.
    • \n
\n

Ответ: Область определения: \( (-2; 2) \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.