ГДЗ: Упражнение 330 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощаем первое выражение (\( A \)).

\n
• \[ A = \frac{1}{2} + \lg 3 \]
\n
• Представим \( \frac{1}{2} \) как логарифм по основанию 10: \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \lg 10 = \lg 10^{\frac{1}{2}} = \lg \sqrt{10} \).
\n
• Используем свойство логарифма произведения (\( \log a + \log b = \log (ab) \)): \n\[ A = \lg \sqrt{10} + \lg 3 = \lg (3 \sqrt{10}) \]
\n

Шаг 2: Упрощаем второе выражение (\( B \)).

\n
• \[ B = \lg 19 - \lg 2 \]
\n
• Используем свойство логарифма частного (\( \log a - \log b = \log (a/b) \)): \n\[ B = \lg \frac{19}{2} = \lg 9,5 \]
\n

Шаг 3: Сравниваем.

\n
• Необходимо сравнить \( A = \lg (3 \sqrt{10}) \) и \( B = \lg 9,5 \).
\n
• Сравнение логарифмов с одинаковым основанием \( a = 10 > 1 \) (функция возрастающая) сводится к сравнению их аргументов: \( 3 \sqrt{10} \) и \( 9,5 \).
\n
• Возведем в квадрат оба числа:\n
  \n
  • \( (3 \sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90 \).
  \n
  • \( (9,5)^2 = 90,25 \).
  \n
\n
• Так как \( 90 < 90,25 \) и оба числа положительны, то \( 3 \sqrt{10} < 9,5 \).
\n
• Из возрастания функции \( y = \lg x \) следует: \( \lg (3 \sqrt{10}) < \lg 9,5 \).
\n

Ответ: \( \frac{1}{2} + \lg 3 < \lg 19 - \lg 2 \).

Шаг 1: Упрощаем первое выражение (\( A \)).

\n
• Опечатка: В тексте варианта, вероятно, допущена опечатка. В типичных учебниках "Алгебра и начала анализа" А.Н. Алимова в таком задании все логарифмы должны быть одного типа, обычно \( \lg \). Будем решать в том виде, как дано, а затем предположим, что \( \log_2 3 \) должно быть \( \lg 3 \).
\n
• Случай 1 (как написано): \( A = \log_2 3 + \lg 19 - \lg 5 \). \n\[ A = \log_2 3 + \lg \frac{19}{5} = \log_2 3 + \lg 3,8 \] \nСравнение с числом B невозможно без численных расчетов, так как логарифмы имеют разные основания. \( \log_2 3 \approx 1,58 \), \( \lg 3,8 \approx 0,58 \). \( A \approx 2,16 \).
\n
• Случай 2 (вероятная опечатка: \( \log_2 3 \) заменить на \( \lg 3 \)): \( A = \lg 3 + \lg 19 - \lg 5 \). \n\[ A = \lg (3 \cdot 19) - \lg 5 = \lg 57 - \lg 5 = \lg \frac{57}{5} = \lg 11,4 \]
\n

Шаг 2: Упрощаем второе выражение (\( B \)).

\n
• \[ B = \lg 9 - \frac{2}{3} \lg 8 \]
\n
• Используем свойство \( k \log a = \log a^k \): \( \frac{2}{3} \lg 8 = \lg 8^{\frac{2}{3}} \). \n\[ 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \]
\n
• Тогда: \n\[ B = \lg 9 - \lg 4 = \lg \frac{9}{4} = \lg 2,25 \]
\n

Шаг 3: Сравниваем (Случай 2).

\n
• Необходимо сравнить \( \lg 11,4 \) и \( \lg 2,25 \).
\n
• Основание \( a = 10 > 1 \) (функция возрастающая).
\n
• Сравниваем аргументы: \( 11,4 \) и \( 2,25 \). Очевидно, \( 11,4 > 2,25 \).
\n
• Следовательно, \( \lg 11,4 > \lg 2,25 \).
\n

Ответ (исходя из предполагаемой опечатки): \( \lg 3 + \lg 19 - \lg 5 > \lg 9 - \frac{2}{3} \lg 8 \).

Шаг 1: Анализируем выражения.

\n
• Первое выражение (\( A \)): \( A = \lg \left( \frac{5 + \lg \sqrt{7}}{2} \right) \). Аргумент логарифма - среднее арифметическое чисел 5 и \( \lg \sqrt{7} \).
\n
• Второе выражение (\( B \)): \( B = \frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \). Это среднее арифметическое логарифмов чисел 5 и \( \sqrt{7} \).
\n

Шаг 2: Преобразуем аргумент второго выражения.

\n
• Используем свойство логарифма произведения: \( \lg 5 + \lg \sqrt{7} = \lg (5 \sqrt{7}) \).
\n
• \[ B = \frac{1}{2} \lg (5 \sqrt{7}) = \lg (5 \sqrt{7})^{\frac{1}{2}} = \lg \sqrt{5 \sqrt{7}} \]
\n

Шаг 3: Используем свойство логарифмической функции.

\n
• Логарифмическая функция \( y = \lg x \) с основанием \( a = 10 > 1 \) является выпуклой вверх (или вогнутой вниз), то есть для любых \( x_1, x_2 > 0 \) и \( \lambda \in (0, 1) \) справедливо неравенство: \n\[ \lg (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \geq \lambda \lg x_1 + (1 - \lambda) \lg x_2 \] \nВ частности, для \( \lambda = 0,5 \) (среднее арифметическое): \n\[ \lg \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \geq \frac{\lg x_1 + \lg x_2}{2} \]
\n
• Сравнение дано в обратном виде. Применим неравенство Йенсена для логарифма, который является вогнутой функцией (\( \log a < 0 \), вторая производная \( \frac{-1}{(x \ln 10) x} < 0 \)). \n\[ \lg \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \leq \frac{\lg x_1 + \lg x_2}{2} \] \n(Логарифмическая функция с \( a>1 \) является вогнутой. Среднее значение логарифма больше логарифма среднего значения).
\n
• Положим \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = \sqrt{7} \).
\n
• Левая часть неравенства Йенсена: \( \lg \left( \frac{5 + \sqrt{7}}{2} \right) \).
\n
• Правая часть неравенства Йенсена: \( \frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \).
\n
• Таким образом: \( \lg \left( \frac{5 + \sqrt{7}}{2} \right) < \frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \).
\n

Шаг 4: Сравниваем аргументы.

\n
• В первом выражении в числителе \( 5 + \lg \sqrt{7} \). \( \lg \sqrt{7} \) - это число, а не аргумент логарифма. Сравнение по неравенству Йенсена неприменимо напрямую. \n\( A = \lg \left( \frac{5 + \lg \sqrt{7}}{2} \right) \). \n\( B = \frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \).\nОчевидно, что \( B \) должно быть меньше, поскольку \( \lg x \) - вогнутая функция. \nПроверим числовые значения: \n\( \lg \sqrt{7} = \frac{1}{2} \lg 7 \approx \frac{1}{2} \cdot 0,845 = 0,4225 \). \n\( \lg 5 \approx 0,699 \). \n\( A \approx \lg \left( \frac{5 + 0,4225}{2} \right) = \lg \frac{5,4225}{2} = \lg 2,71125 \approx 0,433 \)\n\( B \approx \frac{0,699 + 0,4225}{2} = \frac{1,1215}{2} = 0,56075 \)\n\( A < B \)
\n

Ответ: \( \lg \frac{5 + \lg \sqrt{7}}{2} < \frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} \).

Шаг 1: Оцениваем первое выражение (\( A \)).

\n
• \[ A = \lg (\lg 50) \]
\n
• Сначала оценим \( \lg 50 \). Так как \( 10 < 50 < 100 \), то \( \lg 10 < \lg 50 < \lg 100 \), то есть \( 1 < \lg 50 < 2 \).
\n
• Так как \( \lg 50 > 1 \), то \( A = \lg (\lg 50) > \lg 1 = 0 \). \( A \) положительно.
\n
• \( \lg 50 = \lg (5 \cdot 10) = \lg 5 + \lg 10 = 1 + \lg 5 \approx 1 + 0,699 = 1,699 \).
\n
• \[ A \approx \lg 1,699 \]
\n
• Так как \( 1 < 1,699 < 10 \), то \( \lg 1 < A < \lg 10 \), то есть \( 0 < A < 1 \). Фактически \( A \approx 0,23 \).
\n

Шаг 2: Оцениваем второе выражение (\( B \)).

\n
• \[ B = \lg 3 \cdot \lg 5 \]
\n
• Так как \( 1 < 3 < 10 \), то \( 0 < \lg 3 < 1 \) (\( \lg 3 \approx 0,477 \)).
\n
• Так как \( 1 < 5 < 10 \), то \( 0 < \lg 5 < 1 \) (\( \lg 5 \approx 0,699 \)).
\n
• Произведение двух положительных чисел меньше 1:\n\[ 0 < \lg 3 \cdot \lg 5 < 1 \cdot 1 = 1 \]
\n
• \[ B \approx 0,477 \cdot 0,699 \approx 0,333 \) \]
\n

Шаг 3: Сравниваем (численно).

\n
• \( A \approx 0,23 \)
\n
• \( B \approx 0,333 \)
\n
• Следовательно, \( A < B \).
\n

Ответ: \( \lg \lg 50 < \lg 3 \lg 5 \).