Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 326

ГДЗ: Упражнение 326 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105
Глава: Глава 4
Параграф: § 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

326 упражнение:

Решить неравенство:

1) \( \log_3 x < 2 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( x > 0 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

\n
    \n
  • Представим число 2 как логарифм по основанию 3: \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^2 = \log_3 9 \).
    • \n
  • Неравенство принимает вид: \( \log_3 x < \log_3 9 \).
    • \n
\n

Шаг 3: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: \( x < 9 \).
    • \n
\n

Шаг 4: Учитываем ОДЗ.

\n
    \n
  • Пересечение условий \( x < 9 \) и \( x > 0 \) дает \( 0 < x < 9 \).
    • \n
\n

Ответ: \( 0 < x < 9 \).

2) \( \log_{0,4} x > 2 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( x > 0 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

\n
    \n
  • Представим число 2 как логарифм по основанию 0,4: \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \log_{0,4} 0,4 = \log_{0,4} (0,4)^2 = \log_{0,4} 0,16 \).
    • \n
  • Неравенство принимает вид: \( \log_{0,4} x > \log_{0,4} 0,16 \).
    • \n
\n

Шаг 3: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • Основание \( a = 0,4 \). Так как \( 0 < 0,4 < 1 \), функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: \( x < 0,16 \).
    • \n
\n

Шаг 4: Учитываем ОДЗ.

\n
    \n
  • Пересечение условий \( x < 0,16 \) и \( x > 0 \) дает \( 0 < x < 0,16 \).
    • \n
\n

Ответ: \( 0 < x < 0,16 \).

3) \( \log_{\frac{1}{3}} x \geq 16 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( x > 0 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

\n
    \n
  • Представим число 16 как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( 16 = 16 \cdot 1 = 16 \cdot \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{16} \).
    • \n
  • Неравенство принимает вид: \( \log_{\frac{1}{3}} x \geq \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{16} \).
    • \n
\n

Шаг 3: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: \( x \leq (\frac{1}{3})^{16} \).
    • \n
\n

Шаг 4: Учитываем ОДЗ.

\n
    \n
  • Пересечение условий \( x \leq (\frac{1}{3})^{16} \) и \( x > 0 \) дает \( 0 < x \leq (\frac{1}{3})^{16} \).
    • \n
\n

Ответ: \( 0 < x \leq (\frac{1}{3})^{16} \).

4) \( \log_{0,4} x \leq 2 \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ.

\n
    \n
  • Аргумент логарифма: \( x > 0 \).
    • \n
\n

Шаг 2: Преобразуем правую часть.

\n
    \n
  • Как и в варианте 2: \( 2 = \log_{0,4} 0,16 \).
    • \n
  • Неравенство принимает вид: \( \log_{0,4} x \leq \log_{0,4} 0,16 \).
    • \n
\n

Шаг 3: Решаем неравенство.

\n
    \n
  • Основание \( a = 0,4 \). Так как \( 0 < 0,4 < 1 \), функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: \( x \geq 0,16 \).
    • \n
\n

Шаг 4: Учитываем ОДЗ.

\n
    \n
  • Пересечение условий \( x \geq 0,16 \) и \( x > 0 \) дает \( x \geq 0,16 \).
    • \n
\n

Ответ: \( x \geq 0,16 \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.