Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 323

ГДЗ: Упражнение 323 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105
Глава: Глава 4
Параграф: § 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

323 упражнение:

По графику функции \( y = \log_2 x \) найти приближенно \( \log_2 3 \), \( \log_2 0,3 \), \( \log_2 5 \), \( \log_2 0,7 \).

1)

Для нахождения приближенных значений логарифмов по графику функции \( y = \log_2 x \) необходимо:

\n
    \n
  1. Построить график функции \( y = \log_2 x \) (см. решение к упр. 322 (1)).
    2. \n
  2. Найти на оси абсцисс (\( Ox \)) соответствующее значение аргумента \( x \) (3; 0,3; 5; 0,7).
    3. \n
  3. Определить ординату (\( y \)) точки на графике с данной абсциссой. Это и будет приближенное значение логарифма.
    4. \n
\n

Приближенные значения:

\n
    \n
  • \( \log_2 3 \): Находим \( x = 3 \) на оси \( Ox \). Поднимаемся до графика. Значение \( y \) находится между 1 и 2, ближе к 2. \n
      \n
    • Точное значение: \( \log_2 2 = 1 \), \( \log_2 4 = 2 \). Так как \( 2 < 3 < 4 \), то \( 1 < \log_2 3 < 2 \). Приближенно \( \log_2 3 \approx 1,58 \).
      • \n
    \n
    • \n
  • \( \log_2 0,3 \): Находим \( x = 0,3 \) на оси \( Ox \). Опускаемся до графика. Значение \( y \) будет отрицательным и достаточно большим по модулю (т.к. \( 0,3 \) близко к 0). \n
      \n
    • Точное значение: \( \log_2 \frac{1}{2} = -1 \), \( \log_2 \frac{1}{4} = -2 \). Так как \( \frac{1}{4} = 0,25 \) и \( \frac{1}{2} = 0,5 \), то \( 0,25 < 0,3 < 0,5 \). Следовательно, \( -2 < \log_2 0,3 < -1 \). Приближенно \( \log_2 0,3 \approx -1,74 \).
      • \n
    \n
    • \n
  • \( \log_2 5 \): Находим \( x = 5 \) на оси \( Ox \). Поднимаемся до графика. Значение \( y \) находится немного выше 2. \n
      \n
    • Точное значение: \( \log_2 4 = 2 \). Так как \( 5 > 4 \), то \( \log_2 5 > 2 \). Приближенно \( \log_2 5 \approx 2,32 \).
      • \n
    \n
    • \n
  • \( \log_2 0,7 \): Находим \( x = 0,7 \) на оси \( Ox \). Опускаемся до графика. Значение \( y \) будет отрицательным и близким к 0. \n
      \n
    • Точное значение: \( \log_2 1 = 0 \). Так как \( 0 < 0,7 < 1 \), то \( \log_2 0,7 < 0 \). Приближенно \( \log_2 0,7 \approx -0,51 \).
      • \n
    \n
    • \n
\n

Ответ (по графику): \( \log_2 3 \approx 1,6 \), \( \log_2 0,3 \approx -1,7 \), \( \log_2 5 \approx 2,3 \), \( \log_2 0,7 \approx -0,5 \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).
\( y = \log_a x \)
Область определения логарифмической функции
Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).
\( D(y) = (0; +\infty) \)
Множество значений логарифмической функции
Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.
\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)
Монотонность логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).
Определение логарифма
Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \)
Свойство логарифмов: Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.
\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))
Свойство логарифмов: Логарифм частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.