ГДЗ: Упражнение 333 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определяем функции.

\n
• Функция 1 (логарифмическая): \( y_1 = \log_2 x \). \n
  \n
  • Область определения: \( x > 0 \).
  \n
  • График возрастающий, проходит через \( (1; 0) \), \( (2; 1) \), \( (\frac{1}{2}; -1) \). Асимптота \( x = 0 \).
  \n
\n
• Функция 2 (линейная): \( y_2 = -x + 1 \). \n
  \n
  • График - прямая линия. Точки: \( (0; 1) \), \( (1; 0) \), \( (2; -1) \).
  \n
\n

Шаг 2: Находим точку пересечения.

\n
• Построим графики. Заметим, что оба графика проходят через точку \( (1; 0) \).
\n
• Проверим это аналитически:\n
  \n
  • Подставим \( x = 1 \) в \( y_1 \): \( y_1 = \log_2 1 = 0 \).
  \n
  • Подставим \( x = 1 \) в \( y_2 \): \( y_2 = -1 + 1 = 0 \).
  \n
\n
• Поскольку \( y_1 = 0 \) и \( y_2 = 0 \) при \( x = 1 \), то \( x = 1 \) является решением.
\n

Шаг 3: Анализ единственности.

\n
• Функция \( y_1 = \log_2 x \) - строго возрастающая.
\n
• Функция \( y_2 = -x + 1 \) - строго убывающая.
\n
• Графики строго возрастающей и строго убывающей функции могут иметь не более одной точки пересечения.
\n

Ответ: Единственное решение: \( x = 1 \).

Шаг 1: Определяем функции.

\n
• Функция 1 (логарифмическая): \( y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x \). \n
  \n
  • Область определения: \( x > 0 \).
  \n
  • График убывающий, проходит через \( (1; 0) \), \( (\frac{1}{2}; 1) \), \( (2; -1) \).
  \n
\n
• Функция 2 (линейная): \( y_2 = 2x - 5 \). \n
  \n
  • График - прямая линия. Точки: \( (0; -5) \), \( (2; -1) \), \( (3; 1) \).
  \n
\n

Шаг 2: Находим точку пересечения.

\n
• Построим графики. Заметим, что оба графика проходят через точку \( (2; -1) \).
\n
• Проверим это аналитически:\n
  \n
  • Подставим \( x = 2 \) в \( y_1 \): \( y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 \).
  \n
  • Подставим \( x = 2 \) в \( y_2 \): \( y_2 = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 \).
  \n
\n
• Поскольку \( y_1 = -1 \) и \( y_2 = -1 \) при \( x = 2 \), то \( x = 2 \) является решением.
\n

Шаг 3: Анализ единственности.

\n
• Функция \( y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x \) - строго убывающая.
\n
• Функция \( y_2 = 2x - 5 \) - строго возрастающая.
\n
• Графики строго убывающей и строго возрастающей функции могут иметь не более одной точки пересечения.
\n

Ответ: Единственное решение: \( x = 2 \).

Шаг 1: Определяем функции.

\n
• Функция 1 (логарифмическая): \( y_1 = \lg x \). \n
  \n
  • Область определения: \( x > 0 \).
  \n
  • График возрастающий, проходит через \( (1; 0) \), \( (10; 1) \).
  \n
\n
• Функция 2 (корень): \( y_2 = \sqrt{x} \). \n
  \n
  • Область определения: \( x \geq 0 \).
  \n
  • График возрастающий, проходит через \( (0; 0) \), \( (1; 1) \), \( (4; 2) \).
  \n
\n

Шаг 2: Находим точки пересечения.

\n
• Проверим точки:\n
  \n
  • При \( x = 1 \): \( \lg 1 = 0 \), \( \sqrt{1} = 1 \). \( 0 \neq 1 \).
  \n
  • При \( x = 10 \): \( \lg 10 = 1 \), \( \sqrt{10} \approx 3,16 \). \( 1 \neq 3,16 \).
  \n
\n
• Оценим поведение функций.\n
  \n
  • При \( x \to +\infty \), \( \sqrt{x} \) растет медленнее, чем \( x \), но быстрее, чем \( \lg x \).
  \n
  • Вблизи \( x=1 \), \( \lg x \) проходит через 0, а \( \sqrt{x} \approx 1 \).
  \n
  • В точке \( x \approx 1,379 \) функции пересекаются. Проверим: \( \lg 1,379 \approx 0,14 \), \( \sqrt{1,379} \approx 1,17 \).
  \n
  • Построение графиков показывает, что \( \sqrt{x} \) растет значительно быстрее, чем \( \lg x \), и графики не пересекаются, кроме как, возможно, вблизи 1. Но \( \sqrt{x} \geq \lg x \) для всех \( x \geq 1 \).
  \n
  • Поскольку \( \sqrt{x} \) - возрастающая функция, а \( \lg x \) - возрастающая, но \( \sqrt{x} \) растет быстрее, можно попробовать найти точки, где \( \lg x = \sqrt{x} \).
  \n
  • Вывод: На графике видно, что при \( x \geq 1 \) график \( y = \sqrt{x} \) всегда лежит выше графика \( y = \lg x \). Уравнение не имеет решений.
  \n
\n

Ответ: Уравнение не имеет решений.

Шаг 1: Определяем функции.

\n
• Функция 1 (логарифмическая): \( y_1 = \lg x \). \n
  \n
  • Область определения: \( x > 0 \).
  \n
  • График возрастающий, проходит через \( (1; 0) \).
  \n
\n
• Функция 2 (показательная): \( y_2 = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x \). \n
  \n
  • График убывающий, проходит через \( (0; 1) \), \( (1; \frac{1}{2}) \).
  \n
\n

Шаг 2: Находим точку пересечения.

\n
• Построим графики. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, графики могут иметь не более одной точки пересечения.
\n
• Проверим точку \( x = 1 \):\n
  \n
  • Подставим \( x = 1 \) в \( y_1 \): \( y_1 = \lg 1 = 0 \).
  \n
  • Подставим \( x = 1 \) в \( y_2 \): \( y_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5 \).
  \n
  • В точке \( x = 1 \): \( y_1 < y_2 \) (\( 0 < 0,5 \)).
  \n
\n
• Проверим точку \( x = 2 \):\n
  \n
  • Подставим \( x = 2 \) в \( y_1 \): \( y_1 = \lg 2 \approx 0,3 \).
  \n
  • Подставим \( x = 2 \) в \( y_2 \): \( y_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0,25 \).
  \n
  • В точке \( x = 2 \): \( y_1 > y_2 \) (\( 0,3 > 0,25 \)).
  \n
\n
• Поскольку \( y_1 \) возрастает, \( y_2 \) убывает, и знак разности \( y_1 - y_2 \) меняется с отрицательного на положительный между \( x = 1 \) и \( x = 2 \), корень находится в интервале \( (1; 2) \).
\n
• На графике видно, что существует единственная точка пересечения, лежащая между 1 и 2. Приближенное значение корня \( x \approx 1,76 \).
\n

Ответ: Уравнение имеет единственное решение \( x \in (1; 2) \), \( x \approx 1,76 \).