Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 18 / Задание 335

ГДЗ: Упражнение 335 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 100, 103, 104, 105

Глава:	Глава 4
Параграф:	§ 18 - Логарифмическая функция, ее свойства и график
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

335 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8| \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ для каждого логарифма.

Для первого логарифма: \( |3 - x| > 0 \Rightarrow 3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \).
Для второго логарифма: \( |x^3 - 8| > 0 \Rightarrow x^3 - 8 \neq 0 \). \n\[ x^3 \neq 8 \Rightarrow x \neq 2 \]

Шаг 2: Учитываем все ограничения.

Функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 3 \) и \( x = 2 \).

Ответ: Область определения: \( (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty) \).

2) \( y = \log_{0,3} \sqrt{x + 1} + \log_{0,4} (1 - 8x^3) \)

Шаг 1: Определяем ОДЗ для первого слагаемого.

Логарифм требует \( \sqrt{x + 1} > 0 \). Корень требует \( x + 1 \geq 0 \). \n\[ \sqrt{x + 1} > 0 \Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \]

Шаг 2: Определяем ОДЗ для второго слагаемого.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( 1 - 8x^3 > 0 \). \n\[ 1 > 8x^3 \]\n\[ x^3 < \frac{1}{8} \]\n\[ x < \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \]\n\[ x < \frac{1}{2} = 0,5 \]

Шаг 3: Находим пересечение ОДЗ.

Область определения - это пересечение условий \( x > -1 \) и \( x < 0,5 \). \n\[ -1 < x < 0,5 \]

Ответ: Область определения: \( (-1; 0,5) \).

Что применять при решении

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) - заданное число, \( a > 0 \), \( a \neq 1 \). Она является обратной к показательной функции \( y = a^x \).

\( y = \log_a x \)

Область определения логарифмической функции

Областью определения логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество всех положительных чисел, т.к. выражение \( \log_a x \) имеет смысл только при \( x > 0 \).

\( D(y) = (0; +\infty) \)

Множество значений логарифмической функции

Множеством значений логарифмической функции \( y = \log_a x \) является множество \( \mathbf{R} \) всех действительных чисел.

\( E(y) = (-\infty; +\infty) \)

Монотонность логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если \( a > 1 \), и убывающей, если \( 0 < a < 1 \).

Определение логарифма

Уравнение \( \log_a x = b \) имеет единственный корень \( x = a^b \). Логарифмом числа \( b \) по основанию \( a \) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).

\( \log_a b = x \iff a^x = b \)

Свойство логарифмов: Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

\( \log_a b^k = k \log_a b \) (при \( b>0 \))

Свойство логарифмов: Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

\( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \) (при \( b>0, c>0 \))

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 18

318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.