ГДЗ: Упражнение 332 - § 18 (Логарифмическая функция, ее свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Построение графика.

\n
• График функции \( y = \log_3 x - 1 \) получается из графика \( y = \log_3 x \) сдвигом вниз на 1 единицу.
\n
• График \( y = \log_3 x \): Проходит через \( (1; 0) \), \( (3; 1) \), \( (\frac{1}{3}; -1) \). Асимптота \( x = 0 \).
\n
• График \( y = \log_3 x - 1 \):\n
  \n
  • Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1; 0 - 1) = (1; -1) \).
  \n
  • Точка \( (3; 1) \) переходит в \( (3; 1 - 1) = (3; 0) \).
  \n
  • Точка \( (9; 2) \) переходит в \( (9; 2 - 1) = (9; 1) \).
  \n
  • Асимптота остается \( x = 0 \).
  \n
\n

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

\n
• Аргумент логарифма: \( x \). Должен быть \( x > 0 \).
\n
• \[ D(y) = (0; +\infty) \]
\n

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

\n
• Множество значений для \( \log_3 x \) - это \( \mathbf{R} \). Сдвиг на 1 не меняет множества значений.
\n
• \[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
\n

Шаг 1: Построение графика.

\n
• График функции \( y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \) получается из графика \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) сдвигом влево на 1 единицу.
\n
• График \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \): Убывающая, проходит через \( (1; 0) \), \( (\frac{1}{2}; 1) \). Асимптота \( x = 0 \).
\n
• График \( y = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \):\n
  \n
  • Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1 - 1; 0) = (0; 0) \) (график проходит через начало координат).
  \n
  • Точка \( (\frac{1}{2}; 1) \) переходит в \( (\frac{1}{2} - 1; 1) = (-\frac{1}{2}; 1) \).
  \n
  • Вертикальная асимптота \( x = 0 \) переходит в \( x = 0 - 1 \) или \( x = -1 \).
  \n
\n

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

\n
• Аргумент логарифма: \( x + 1 \). Должен быть \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \).
\n
• \[ D(y) = (-1; +\infty) \]
\n

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

\n
• Множество значений для \( \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) \) - это \( \mathbf{R} \). Горизонтальный сдвиг не меняет множества значений.
\n
• \[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
\n

Шаг 1: Построение графика.

\n
• Функция \( y = 1 + \log_3 x \) эквивалентна \( y = \log_3 x + 1 \). График получается из \( y = \log_3 x \) сдвигом вверх на 1 единицу.
\n
• Это идентично варианту 1, только сдвиг в противоположную сторону.
\n
• График \( y = \log_3 x + 1 \):\n
  \n
  • Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1; 0 + 1) = (1; 1) \).
  \n
  • Точка \( (3; 1) \) переходит в \( (3; 1 + 1) = (3; 2) \).
  \n
  • Точка \( (\frac{1}{3}; -1) \) переходит в \( (\frac{1}{3}; -1 + 1) = (\frac{1}{3}; 0) \).
  \n
  • Асимптота остается \( x = 0 \).
  \n
\n

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

\n
• Аргумент логарифма: \( x \). Должен быть \( x > 0 \).
\n
• \[ D(y) = (0; +\infty) \]
\n

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

\n
• \[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
\n

Шаг 1: Построение графика.

\n
• График функции \( y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \) получается из графика \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \) сдвигом вправо на 1 единицу.
\n
• График \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \): Убывающая, проходит через \( (1; 0) \), \( (3; -1) \). Асимптота \( x = 0 \).
\n
• График \( y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \):\n
  \n
  • Точка \( (1; 0) \) переходит в \( (1 + 1; 0) = (2; 0) \).
  \n
  • Точка \( (3; -1) \) переходит в \( (3 + 1; -1) = (4; -1) \).
  \n
  • Вертикальная асимптота \( x = 0 \) переходит в \( x = 0 + 1 \) или \( x = 1 \).
  \n
\n

Шаг 2: Область определения (\( D(y) \)).

\n
• Аргумент логарифма: \( x - 1 \). Должен быть \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \).
\n
• \[ D(y) = (1; +\infty) \]
\n

Шаг 3: Множество значений (\( E(y) \)).

\n
• \[ E(y) = (-\infty; +\infty) = \mathbf{R} \]
\n