ГДЗ: Упражнение 573 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Это частный случай уравнения \( \cos t = 1 \), где \( t = 4x \). Решение \( t = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).

Решение:

• Заменим \( 4x = t \). Уравнение \( \cos t = 1 \) имеет решение: \( t = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Выполняем обратную замену: \( 4x = 2\pi k \).
• Разделим обе части на 4: \( x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Это частный случай уравнения \( \cos t = -1 \), где \( t = 2x \). Решение \( t = \pi + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).

Решение:

• Заменим \( 2x = t \). Уравнение \( \cos t = -1 \) имеет решение: \( t = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Выполняем обратную замену: \( 2x = \pi + 2\pi k \).
• Разделим обе части на 2: \( x = \frac{\pi + 2\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Сначала приводим уравнение к виду \( \cos x = a \), а затем используем общую формулу.

Решение:

• Разделим обе части на \( \sqrt{2} \): \( \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Находим \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \): \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi - \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
• Применяем общую формулу: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Приводим к виду \( \cos t = a \), где \( t = \frac{x}{3} \), а затем используем общую формулу.

Решение:

• Разделим обе части на 2: \( \cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Находим \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} \).
• Применяем общую формулу для \( \frac{x}{3} \): \( \frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Умножим обе части на 3: \( x = 3 \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \right) = \pm \frac{3\pi}{6} + 6\pi k = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Это частный случай уравнения \( \cos t = 0 \), где \( t = x + \frac{\pi}{3} \). Решение \( t = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).

Решение:

• Применяем формулу для частного случая: \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Выражаем \( x \): \( x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k \).
• Приводим дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \).
• Окончательное решение: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Это частный случай уравнения \( \cos t = 0 \), где \( t = 2x - \frac{\pi}{4} \). Решение \( t = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).

Решение:

• Применяем формулу для частного случая: \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Выражаем \( 2x \): \( 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k \).
• Складываем дроби: \( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).
• Получаем: \( 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \).
• Разделим обе части на 2: \( x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \)