ГДЗ: Упражнение 574 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \). Приводим уравнение к виду \( \cos t = 0 \).

Решение:

• Перенесем слагаемое из правой части в левую: \( \cos x \cos 3x - \sin 3x \sin x = 0 \).
• Применим формулу косинуса суммы: \( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos (\alpha + \beta) \).
• Получаем: \( \cos (x + 3x) = 0 \), или \( \cos 4x = 0 \).
• Решаем частный случай \( \cos t = 0 \): \( 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Разделим на 4: \( x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Используем формулу косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \). Приводим уравнение к виду \( \cos t = 0 \).

Решение:

• Применим формулу косинуса разности: \( \cos (2x - x) = 0 \).
• Получаем: \( \cos x = 0 \).
• Решаем частный случай \( \cos x = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)