ГДЗ: Упражнение 579 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем определение арккосинуса: \( \arccos a = \alpha \iff \cos \alpha = a \) при условии, что \( \alpha \in [0; \pi] \) и \( a \in [-1; 1] \). Так как \( \frac{\pi}{3} \in [0; \pi] \), решение существует.

Решение:

• По определению арккосинуса, \( 2x - 3 = \cos \frac{\pi}{3} \).
• Находим \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
• Получаем линейное уравнение: \( 2x - 3 = \frac{1}{2} \).
• Решаем относительно \( x \): \( 2x = 3 + \frac{1}{2} = \frac{6+1}{2} = \frac{7}{2} \).
• \( x = \frac{7}{4} = 1.75 \).
• Проверка: Аргумент \( 2x - 3 = 2 \cdot \frac{7}{4} - 3 = \frac{7}{2} - 3 = 3.5 - 3 = 0.5 \). \( 0.5 \in [-1; 1] \), условие выполняется.

Ответ: \( x = \frac{7}{4} \)

Пояснение: Используем определение арккосинуса: \( \arccos a = \alpha \iff \cos \alpha = a \) при условии, что \( \alpha \in [0; \pi] \) и \( a \in [-1; 1] \). Так как \( \frac{2\pi}{3} \in [0; \pi] \), решение существует.

Решение:

• По определению арккосинуса, \( \frac{x+1}{3} = \cos \frac{2\pi}{3} \).
• Находим \( \cos \frac{2\pi}{3} = \cos (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).
• Получаем уравнение: \( \frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2} \).
• Умножаем на 6: \( 2(x+1) = -3 \).
• Раскрываем скобки: \( 2x + 2 = -3 \).
• Решаем относительно \( x \): \( 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} = -2.5 \).
• Проверка: Аргумент \( \frac{x+1}{3} = \frac{-2.5+1}{3} = \frac{-1.5}{3} = -0.5 \). \( -0.5 \in [-1; 1] \), условие выполняется.

Ответ: \( x = -\frac{5}{2} \)