ГДЗ: Упражнение 581 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Равенство \( \arccos (\cos \alpha) = \alpha \) верно, только если \( \alpha \in [0; \pi] \) (это область значений арккосинуса). Если \( \alpha \notin [0; \pi] \), нужно привести аргумент косинуса к виду \( \alpha' \in [0; \pi] \), используя свойства четности и периодичности косинуса: \( \cos \alpha = \cos \alpha' \).

Решение:

• Аргумент \( \alpha = \frac{10\pi}{9} \). Так как \( \frac{10\pi}{9} \approx 1.11\pi \) и \( 1.11\pi > \pi \), то \( \alpha \notin [0; \pi] \).
• Используем периодичность и симметрию косинуса: \( \cos \frac{10\pi}{9} = \cos (2\pi - \frac{10\pi}{9}) = \cos \frac{8\pi}{9} \) (или \( \cos (\pi + \frac{\pi}{9}) = -\cos \frac{\pi}{9} \)).
• Приведем к углу из \( [0; \pi] \). Воспользуемся тем, что \( \cos \alpha = \cos (2\pi - \alpha) \): \( \cos \frac{10\pi}{9} = \cos \left( 2\pi - \frac{10\pi}{9} \right) = \cos \frac{8\pi}{9} \).
• Так как \( 0 \le \frac{8\pi}{9} \le \pi \), то \( \arccos \left( \cos \frac{10\pi}{9} \right) = \arccos \left( \cos \frac{8\pi}{9} \right) = \frac{8\pi}{9} \).
• Вычисляем выражение: \( 5 \cdot \frac{8\pi}{9} = \frac{40\pi}{9} \).

Ответ: \( \frac{40\pi}{9} \)

Пояснение: Аргумент \( \alpha = 2 \) (в радианах). Так как \( 0 < 2 < \pi \) (\( \pi \approx 3.14 \)), то \( 2 \in [0; \pi] \). Следовательно, \( \arccos (\cos 2) = 2 \).

Решение:

• Так как \( 0 \le 2 \le \pi \), то \( \arccos (\cos 2) = 2 \).
• Вычисляем выражение: \( 3 \cdot 2 = 6 \).

Ответ: \( 6 \)

Пояснение: Аргумент \( \alpha = \frac{8\pi}{7} \). Так как \( \frac{8\pi}{7} > \pi \), то \( \alpha \notin [0; \pi] \). Нужно привести аргумент косинуса к углу \( \alpha' \in [0; \pi] \).

Решение:

• Используем свойство \( \cos \alpha = \cos (2\pi - \alpha) \): \( \cos \frac{8\pi}{7} = \cos \left( 2\pi - \frac{8\pi}{7} \right) = \cos \frac{14\pi - 8\pi}{7} = \cos \frac{6\pi}{7} \).
• Так как \( 0 \le \frac{6\pi}{7} \le \pi \), то \( \arccos \left( \cos \frac{8\pi}{7} \right) = \arccos \left( \cos \frac{6\pi}{7} \right) = \frac{6\pi}{7} \).

Ответ: \( \frac{6\pi}{7} \)

Пояснение: Аргумент \( \alpha = 4 \) (в радианах). Так как \( 4 > \pi \) (\( \pi \approx 3.14 \)) и \( 4 < 2\pi \) (\( 2\pi \approx 6.28 \)), то \( \alpha \notin [0; \pi] \). Нужно привести аргумент косинуса к углу \( \alpha' \in [0; \pi] \).

Решение:

• Используем свойство четности и периодичности косинуса: \( \cos 4 = \cos (-4) = \cos (2\pi - 4) \).
• Так как \( 2\pi - 4 \approx 6.28 - 4 = 2.28 \). \( 0 < 2\pi - 4 < \pi \) (\( 2\pi - 4 \approx 2.28 \)).
• Следовательно, \( \arccos (\cos 4) = \arccos (\cos (2\pi - 4)) = 2\pi - 4 \).

Ответ: \( 2\pi - 4 \)