ГДЗ: Упражнение 577 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Сначала находим общее решение уравнения, затем отбираем корни, попадающие в заданный отрезок \( [-\pi; 5\pi] \).

Решение:

• Общее решение:
• Уравнение: \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \).
• Находим \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \pi - \arccos \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
• Общее решение для \( 2x \): \( 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Делим на 2: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Отбор корней:
• Рассмотрим две серии решений: \( x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi k \) и \( x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi k \).

Серия 1: \( x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi k \)

• Применим условие \( -\pi \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le 5\pi \).
• Разделим на \( \pi \): \( -1 \le \frac{1}{3} + k \le 5 \).
• Вычтем \( \frac{1}{3} \): \( -1 - \frac{1}{3} \le k \le 5 - \frac{1}{3} \), что дает \( -\frac{4}{3} \le k \le \frac{14}{3} \).
• Так как \( k \in \mathbb{Z} \), возможные значения \( k \): \( -1, 0, 1, 2, 3, 4 \).
• Соответствующие корни:
  • \( k=-1 \implies x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \).
  • \( k=0 \implies x = \frac{\pi}{3} \).
  • \( k=1 \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \).
  • \( k=2 \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \).
  • \( k=3 \implies x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3} \).
  • \( k=4 \implies x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \).

Серия 2: \( x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi k \)

• Применим условие \( -\pi \le -\frac{\pi}{3} + \pi k \le 5\pi \).
• Разделим на \( \pi \): \( -1 \le -\frac{1}{3} + k \le 5 \).
• Прибавим \( \frac{1}{3} \): \( -1 + \frac{1}{3} \le k \le 5 + \frac{1}{3} \), что дает \( -\frac{2}{3} \le k \le \frac{16}{3} \).
• Так как \( k \in \mathbb{Z} \), возможные значения \( k \): \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
• Соответствующие корни:
  • \( k=0 \implies x = -\frac{\pi}{3} \).
  • \( k=1 \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \).
  • \( k=2 \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \).
  • \( k=3 \implies x = -\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3} \).
  • \( k=4 \implies x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \).
  • \( k=5 \implies x = -\frac{\pi}{3} + 5\pi = \frac{14\pi}{3} \).

Общий список корней: \( -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, \frac{14\pi}{3} \).

Ответ: \( -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, \frac{14\pi}{3} \)