ГДЗ: Упражнение 578 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Сначала находим общее решение уравнения \( \cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Затем используем неравенство \( -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} \) для отбора корней.

Решение:

• Общее решение:
• Уравнение: \( \cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Находим \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).
• Общее решение для \( 4x \): \( 4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Делим на 4: \( x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Отбор корней:
• Неравенство \( |x| < \frac{\pi}{4} \) эквивалентно \( -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} \).
• Подставляем общее решение: \( -\frac{\pi}{4} < \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} < \frac{\pi}{4} \).
• Разделим на \( \pi \): \( -\frac{1}{4} < \pm \frac{1}{16} + \frac{k}{2} < \frac{1}{4} \).

Случай 1: \( \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \)

• Неравенство: \( -\frac{1}{4} < \frac{1}{16} + \frac{k}{2} < \frac{1}{4} \).
• Вычтем \( \frac{1}{16} \): \( -\frac{1}{4} - \frac{1}{16} < \frac{k}{2} < \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \).
• \( -\frac{4+1}{16} < \frac{k}{2} < \frac{4-1}{16} \), то есть \( -\frac{5}{16} < \frac{k}{2} < \frac{3}{16} \).
• Умножим на 2: \( -\frac{5}{8} < k < \frac{6}{16} \). \( -0.625 < k < 0.375 \).
• Так как \( k \in \mathbb{Z} \), единственное возможное значение \( k = 0 \).
• Корень при \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{16} + 0 = \frac{\pi}{16} \).

Случай 2: \( -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \)

• Неравенство: \( -\frac{1}{4} < -\frac{1}{16} + \frac{k}{2} < \frac{1}{4} \).
• Прибавим \( \frac{1}{16} \): \( -\frac{1}{4} + \frac{1}{16} < \frac{k}{2} < \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \).
• \( -\frac{4-1}{16} < \frac{k}{2} < \frac{4+1}{16} \), то есть \( -\frac{3}{16} < \frac{k}{2} < \frac{5}{16} \).
• Умножим на 2: \( -\frac{6}{16} < k < \frac{10}{16} \). \( -0.375 < k < 0.625 \).
• Так как \( k \in \mathbb{Z} \), единственное возможное значение \( k = 0 \).
• Корень при \( k=0 \): \( x = -\frac{\pi}{16} + 0 = -\frac{\pi}{16} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{16} \)