ГДЗ: Упражнение 584 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Доказательство основывается на тождестве косинуса половинного угла: \( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \). Сначала применим косинус к обеим частям равенства, затем покажем, что аргументы арккосинуса находятся в пределах \( [0, \pi] \).

Доказательство:

• Пусть \( \alpha = \arccos a \). Поскольку \( -1 \le a \le 1 \), то \( \alpha \in [0; \pi] \).
• Требуется доказать, что \( 2 \arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}} = \alpha \).
• Так как \( 0 \le \alpha \le \pi \), то \( 0 \le \frac{\alpha}{2} \le \frac{\pi}{2} \).
• Для углов из \( [0, \frac{\pi}{2}] \), \( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} \) (косинус неотрицателен).
• Используем формулу косинуса половинного угла: \( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \).
• Поскольку \( \cos \alpha = \cos (\arccos a) = a \), подставляем: \( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + a}{2} \).
• Извлекаем корень (учитывая, что \( \cos \frac{\alpha}{2} \ge 0 \)): \( \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + a}{2}} \).
• По определению арккосинуса: \( \frac{\alpha}{2} = \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} \) (так как \( \frac{\alpha}{2} \in [0; \frac{\pi}{2}] \)).
• Умножаем на 2: \( \alpha = 2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} \).
• Подставляем \( \alpha = \arccos a \): \( \arccos a = 2 \arccos \sqrt{\frac{1 + a}{2}} \).

Вывод: Равенство доказано.

Ответ: Доказательство приведено в пояснении.