Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 33 / Задание 583

ГДЗ: Упражнение 583 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 168, 171, 172, 173
Глава: Глава 6
Параграф: § 33 - Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

583 упражнение:

Упростить выражение \( \cos (2 \arccos a) \), если \( -1 \le a \le 1 \).

1)

Пояснение: Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \) или \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \). Обозначим \( \alpha = \arccos a \).

Решение:

  • Пусть \( \alpha = \arccos a \). Тогда \( \cos \alpha = a \).
  • Применяем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).
  • Подставляем: \( \cos (2 \arccos a) = \cos 2\alpha = 2 (\cos \alpha)^2 - 1 \).
  • Заменяем \( \cos \alpha \) на \( a \): \( 2 (a)^2 - 1 = 2a^2 - 1 \).

Ответ: \( 2a^2 - 1 \)

Что применять при решении

Общая формула решения уравнения \( \cos x = a \)
Если \( |a| \le 1 \), то уравнение \( \cos x = a \) имеет бесконечное множество корней, которые находятся по формуле:
\( x = \pm \arccos a + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Случай \( \cos x = 1 \)
Формула для нахождения корней уравнения \( \cos x = 1 \) (частный случай):
\( x = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Случай \( \cos x = -1 \)
Формула для нахождения корней уравнения \( \cos x = -1 \) (частный случай):
\( x = \pi + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Случай \( \cos x = 0 \)
Формула для нахождения корней уравнения \( \cos x = 0 \) (частный случай):
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Свойство арккосинуса
Для любого \( a \in [-1; 1] \) справедлива формула, позволяющая находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел:
\( \arccos (-a) = \pi - \arccos a \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 33

568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.