Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 758

ГДЗ: Упражнение 758 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228

Глава:	Глава 8
Параграф:	§ 48 - Геометрический смысл производной
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

758 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \sin x + \cos x \)

Решение:

Пояснение: Функции \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \) определены для любого действительного числа \( x \).

Шаг: Функция \( y = \sin x + \cos x \) является суммой двух функций, область определения которой - это пересечение областей определения слагаемых.

Результат: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \)

2) \( y = \sin x + \operatorname{tg} x \)

Решение:

Пояснение: Функция \( y = \sin x \) определена для всех \( x \in \mathbb{R} \). Функция \( y = \operatorname{tg} x \) определена при условии, что косинус аргумента не равен нулю, т.е. \( \cos x \neq 0 \).

Шаг: \( \cos x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Эти значения исключаются из области определения.

Результат: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \} \).

Ответ: \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

3) \( y = \sqrt{\sin x} \)

Решение:

Пояснение: Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( \sin x \ge 0 \).

Шаг: На тригонометрическом круге \( \sin x \ge 0 \) в I и II четвертях. В общем виде это интервалы \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).

Результат: \( D(y) = [2\pi n; \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( 2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

4) \( y = \sqrt{\cos x} \)

Решение:

Пояснение: Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( \cos x \ge 0 \).

Шаг: На тригонометрическом круге \( \cos x \ge 0 \) в I и IV четвертях. В общем виде это интервалы \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n] \).

Результат: \( D(y) = [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

5) \( y = \frac{2x}{2 \sin x - 1} \)

Решение:

Пояснение: Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: \( 2 \sin x - 1 \neq 0 \).

Шаг 1: Решим уравнение \( 2 \sin x - 1 = 0 \). \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Шаг 2: Общее решение уравнения: \( x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Результат: Область определения - все числа, кроме найденных значений. \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \} \).

Ответ: \( x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

6) \( y = \frac{\cos x}{2 \sin^2 x - \sin x} \)

Решение:

Пояснение: Знаменатель не должен быть равен нулю: \( 2 \sin^2 x - \sin x \neq 0 \).

Шаг 1: Вынесем \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (2 \sin x - 1) \neq 0 \).

Шаг 2: Отсюда получаем два условия:
а) \( \sin x \neq 0 \). Это означает \( x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
б) \( 2 \sin x - 1 \neq 0 \), т.е. \( \sin x \neq \frac{1}{2} \). Это означает \( x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Результат: Область определения - все действительные числа, кроме найденных значений.

Ответ: \( x \neq \pi n, x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Что применять при решении

Область определения функции

Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

\( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)

Множество значений функции (Область значений)

Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).

\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)

Четность и нечетность функции

Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.

Наименьший положительный период тригонометрических функций

Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 48

758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.