Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 771

ГДЗ: Упражнение 771 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228

Глава:	Глава 8
Параграф:	§ 48 - Геометрический смысл производной
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

771 упражнение:

Найти все значения \( x \), при которых функция \( y = 1.5 - 2 \sin^2 \frac{x}{2} \) принимает положительные значения.

Решение:

Пояснение: Нам нужно решить неравенство \( y > 0 \):
\( 1.5 - 2 \sin^2 \frac{x}{2} > 0 \).

Шаг 1: Преобразуем неравенство:
\( -2 \sin^2 \frac{x}{2} > -1.5 \),
\( 2 \sin^2 \frac{x}{2} < 1.5 \) (умножили на \(-1\), знак поменялся),
\( \sin^2 \frac{x}{2} < \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4} \).

Шаг 2: Извлечем корень:
\( |\sin \frac{x}{2}| < \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Это эквивалентно двойному неравенству:
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 3: Решим неравенство для \( \frac{x}{2} \).
Углы, в которых \( \sin t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \), это \( \pm \frac{\pi}{3} \) и \( \pm \frac{2\pi}{3} \).
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \) в интервалах:
\( (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 4: Умножим на 2, чтобы найти \( x \):
\( 2 (-\frac{\pi}{3} + \pi n) < x < 2 (\frac{\pi}{3} + \pi n) \),
\( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Результат: Функция принимает положительные значения на указанных интервалах.

Ответ: \( (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} \)

Что применять при решении

Область определения функции

Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

\( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)

Множество значений функции (Область значений)

Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).

\( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)

Четность и нечетность функции

Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.

Наименьший положительный период тригонометрических функций

Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 48

758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.