Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 775

ГДЗ: Упражнение 775 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

775 упражнение:

Решить неравенство:

1) \( \sin x > \cos x \)

Решение:

  • Пояснение: Перенесем \( \cos x \) влево:
    \( \sin x - \cos x > 0 \).
    Воспользуемся методом вспомогательного угла: \( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x + \varphi) \).
  • Шаг 1: Преобразуем левую часть: \( a=1, b=-1 \).
    \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \).
    \( \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \).
    Пусть \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Тогда \( \varphi = \frac{\pi}{4} \).
    Неправильно: \( \sin x \cos \varphi - \cos x \sin \varphi = \sin (x - \varphi) \).
    \( \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x - \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4}) \).
  • Шаг 2: Неравенство принимает вид:
    \( \sqrt{2} \sin (x - \frac{\pi}{4}) > 0 \),
    \( \sin (x - \frac{\pi}{4}) > 0 \).
  • Шаг 3: Решим неравенство \( \sin t > 0 \):
    \( 2\pi n < t < \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 4: Сделаем обратную подстановку \( t = x - \frac{\pi}{4} \):
    \( 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi n \).
    Прибавим \( \frac{\pi}{4} \):
    \( 2\pi n + \frac{\pi}{4} < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \),
    \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Результат: Решения неравенства: \( (\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( (\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} \)

    2) \( \operatorname{tg} x > \sin x \)

    Решение:

  • Пояснение: Перенесем \( \sin x \) влево и выразим \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \):
    \( \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0 \).
  • Шаг 1: Вынесем \( \sin x \) за скобки:
    \( \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) > 0 \).
    \( \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} > 0 \).
  • Шаг 2: Анализ знаков:
    а) \( 1 - \cos x \ge 0 \) всегда, и \( 1 - \cos x = 0 \) только при \( x = 2\pi k \). Эти точки (кроме тех, где знаменатель 0) являются нулями функции, но не решениями строгого неравенства.
    б) Знаменатель \( \cos x \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \).
  • Шаг 3: Для строгого неравенства \( \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} > 0 \), нам нужно, чтобы числитель был \( \neq 0 \), т.е. \( 1 - \cos x \neq 0 \implies x \neq 2\pi k \).
    Таким образом, \( \sin x \frac{\text{положительное число}}{\cos x} > 0 \), что эквивалентно:
    \( \frac{\sin x}{\cos x} > 0 \), т.е. \( \operatorname{tg} x > 0 \).
  • Шаг 4: Решаем неравенство \( \operatorname{tg} x > 0 \).
    Тангенс положителен в I и III четвертях.
    \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 5: Проверим, что исключены точки \( x=2\pi k \).
    При \( x = \pi n \), \( \operatorname{tg} x = 0 \), что не удовлетворяет строгому неравенству.
    Таким образом, интервалы уже исключают эти точки.
  • Результат: Решения неравенства: \( (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.