Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 770

ГДЗ: Упражнение 770 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

770 упражнение:

Найти нули функции:

1) \( y = \cos^2 x - \cos x \)

Решение:

  • Пояснение: Нули функции - это значения \( x \), при которых \( y=0 \). Приравняем функцию к нулю: \( \cos^2 x - \cos x = 0 \).
  • Шаг 1: Вынесем общий множитель \( \cos x \):
    \( \cos x (\cos x - 1) = 0 \).
  • Шаг 2: Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей.
    а) \( \cos x = 0 \). Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    б) \( \cos x - 1 = 0 \), т.е. \( \cos x = 1 \). Решение: \( x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
  • Результат: Нули функции: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n, 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \)

    2) \( y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x \)

    Решение:

  • Пояснение: Нули функции - это значения \( x \), при которых \( y=0 \). Приравняем функцию к нулю: \( \cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0 \).
  • Шаг 1: Группируем слагаемые:
    \( (\cos x - \cos 2x) - \sin 3x = 0 \).
  • Шаг 2: Используем формулу разности косинусов: \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \).
    \( \cos x - \cos 2x = -2 \sin \frac{x+2x}{2} \sin \frac{x-2x}{2} = -2 \sin \frac{3x}{2} \sin \left( -\frac{x}{2} \right) \).
    Так как \( \sin (-\frac{x}{2}) = -\sin \frac{x}{2} \):
    \( \cos x - \cos 2x = -2 \sin \frac{3x}{2} \left( -\sin \frac{x}{2} \right) = 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} \).
  • Шаг 3: Подставим в уравнение:
    \( 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} - \sin 3x = 0 \).
  • Шаг 4: Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 3x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2} \).
    \( 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2} = 0 \).
  • Шаг 5: Вынесем общий множитель \( 2 \sin \frac{3x}{2} \):
    \( 2 \sin \frac{3x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} \right) = 0 \).
  • Шаг 6: Решаем два случая:
    а) \( \sin \frac{3x}{2} = 0 \).
    \( \frac{3x}{2} = \pi n \), \( x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} \).
    б) \( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = 0 \), т.е. \( \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \).
    \( \cos \frac{3x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} \right) \).
    \( \sin \frac{x}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} \right) \).
    Это дает два подслучая:
    i) \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi k \).
    \( \frac{4x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
    ii) \( \frac{x}{2} = \pi - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} \right) + 2\pi k \).
    \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi k \),
    \( \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \),
    \( -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \).
  • Результат: Нули функции: \( \frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, n, k, m \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( \frac{2\pi n}{3}, \frac{\pi}{4} + \pi k, -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, n, k, m \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.