Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 762

ГДЗ: Упражнение 762 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

762 упражнение:

Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку \( [0; 3\pi] \):

1) \( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \)

Решение:

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( 2 \cos x = -\sqrt{3} \),
    \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • Шаг 2: Общее решение:
    \( x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \),
    \( x = \pm \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n \),
    \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор корней на промежутке \( [0; 3\pi] \):
    Случай 1: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).
    При \( n=0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \). (\( \frac{5\pi}{6} \in [0; 3\pi] \))
    При \( n=1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). (\( \frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} \in [0; 3\pi] \), так как \( \frac{17}{6} \le 3 \) - верно)
    При \( n=2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \) (\( > 3\pi \)).
    Случай 2: \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).
    При \( n=0 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} \) (\( < 0 \)).
    При \( n=1 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \). (\( \frac{7\pi}{6} \in [0; 3\pi] \))
    При \( n=2 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \). (\( \frac{19\pi}{6} \in [0; 3\pi] \), так как \( \frac{19}{6} \approx 3.16 > 3 \pi \). Проверка: \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \). Значит, \( \frac{19\pi}{6} \) не подходит.)
  • Результат: Корни на промежутке: \( \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} \).

    • Ответ: \( \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} \)

    2) \( \sqrt{3} - \sin x = 0 \)

    Решение:

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \sin x = \sqrt{3} \).
  • Шаг 2: Поскольку \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), и \( 1.732 > 1 \), уравнение \( \sin x = \sqrt{3} \) не имеет решений, так как область значений функции \( y = \sin x \) - это \( [-1; 1] \).
  • Результат: Корней нет, и, следовательно, нет корней, принадлежащих промежутку \( [0; 3\pi] \).

    • Ответ: Корней нет

    3) \( 3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \)

    Решение:

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
  • Шаг 2: Общее решение:
    \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \),
    \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор корней на промежутке \( [0; 3\pi] \):
    При \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \).
    При \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \).
    При \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \).
    При \( n=3 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{19\pi}{6} \). (\( \frac{19\pi}{6} > 3\pi = \frac{18\pi}{6} \), не подходит).
  • Результат: Корни на промежутке: \( \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \).

    • Ответ: \( \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \)

    4) \( \cos x + 1 = 0 \)

    Решение:

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \cos x = -1 \).
  • Шаг 2: Общее решение:
    \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор корней на промежутке \( [0; 3\pi] \):
    При \( n=0 \): \( x = \pi \).
    При \( n=1 \): \( x = \pi + 2\pi = 3\pi \).
    При \( n=2 \): \( x = \pi + 4\pi = 5\pi \) (\( > 3\pi \)).
  • Результат: Корни на промежутке: \( \pi, 3\pi \).

    • Ответ: \( \pi, 3\pi \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.