Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 774

ГДЗ: Упражнение 774 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

774 упражнение:

Найти множество значений функции:

1) \( y = 12 \sin 5x - 5 \cos 5x \)

Решение:

  • Пояснение: Функция имеет вид \( y = a \sin t + b \cos t \) с \( t=5x, a=12, b=-5 \). Множество значений такой функции - это отрезок \( [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \).
  • Шаг 1: Вычислим \( \sqrt{a^2 + b^2} \):
    \( \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \).
  • Шаг 2: Множество значений функции \( y = 13 \left( \frac{12}{13} \sin 5x - \frac{5}{13} \cos 5x \right) \).
    Пусть \( \cos \varphi = \frac{12}{13}, \sin \varphi = \frac{5}{13} \).
    \( y = 13 (\cos \varphi \sin 5x - \sin \varphi \cos 5x) = 13 \sin (5x - \varphi) \).
  • Шаг 3: Поскольку \( -1 \le \sin (5x - \varphi) \le 1 \), то
    \( -13 \le 13 \sin (5x - \varphi) \le 13 \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [-13; 13] \).

    • Ответ: \( [-13; 13] \)

    2) \( y = \cos^2 x - \sin x \)

    Решение:

  • Пояснение: Выразим функцию через \( \sin x \) с помощью \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
    \( y = 1 - \sin^2 x - \sin x \).
  • Шаг 1: Сделаем замену переменной \( t = \sin x \). Область значений \( t \) - это \( [-1; 1] \).
    Функция принимает вид: \( f(t) = -t^2 - t + 1 \). Это квадратичная функция (парабола, ветви вниз) на отрезке \( [-1; 1] \).
  • Шаг 2: Найдем вершину параболы \( t_0 \):
    \( t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2} \).
    Так как \( t_0 = -\frac{1}{2} \in [-1; 1] \), наибольшее значение функции достигается в вершине.
  • Шаг 3: Вычислим наибольшее значение \( y_{\max} = f(-\frac{1}{2}) \):
    \( y_{\max} = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = 1.25 = \frac{5}{4} \).
  • Шаг 4: Вычислим значения на концах отрезка \( [-1; 1] \):
    \( f(-1) = -(-1)^2 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \).
    \( f(1) = -(1)^2 - 1 + 1 = -1 \).
  • Шаг 5: Наименьшее значение - это минимум из \( f(-1) \) и \( f(1) \):
    \( y_{\min} = -1 \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [-1; \frac{5}{4}] \).

    • Ответ: \( [-1; \frac{5}{4}] \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.