Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 773

ГДЗ: Упражнение 773 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

773 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) - 2 \)

Пояснение: График функции \( y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) - 2 \) получается из графика \( y = \sin x \) последовательными преобразованиями.

  • Базовая функция: \( y = \sin x \). Период \( T=2\pi \), область значений \( [-1; 1] \).
  • Преобразование 1 (Изменение периода): \( y = \sin \frac{x}{2} \). Период \( T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi \). График растянут в 2 раза по оси \( Ox \).
  • Преобразование 2 (Фазовый сдвиг): \( y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) \). Сдвиг влево на \( \frac{\pi}{3} / \frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} \). Начальная точка (где аргумент равен 0): \( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = -\frac{2\pi}{3} \).
  • Преобразование 3 (Изменение амплитуды): \( y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) \). Амплитуда равна 2. Область значений \( [-2; 2] \). График растянут в 2 раза по оси \( Oy \).
  • Преобразование 4 (Вертикальный сдвиг): \( y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) - 2 \). Сдвиг вниз на 2. Область значений \( [-2-2; 2-2] = [-4; 0] \).

    • Ключевые точки:
    Начало периода (y=-2): \( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = -\frac{2\pi}{3} \).
    Максимум (y=0): \( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} \).
    Конец периода (y=-2): \( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = 2\pi \implies x = \frac{10\pi}{3} \).
    Минимум (y=-4): \( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{7\pi}{3} \).

    2) \( y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x} \)

    Решение:

  • Пояснение: Используем свойство \( \sqrt{a^2} = |a| \). Функция принимает вид:
    \( y = \cos x - |\cos x| \).
  • Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
  • Шаг 1: Рассмотрим два случая в зависимости от знака \( \cos x \):
    Случай 1: \( \cos x \ge 0 \). (I и IV четверти, включая концы)
    В этом случае \( |\cos x| = \cos x \).
    \( y = \cos x - \cos x = 0 \).
    График - это отрезки оси \( Ox \).
  • Шаг 2: Случай 2: \( \cos x < 0 \). (II и III четверти, исключая концы)
    В этом случае \( |\cos x| = -\cos x \).
    \( y = \cos x - (-\cos x) = 2 \cos x \).
    График - это фрагменты косинусоиды \( 2 \cos x \).
  • Шаг 3: Построение графика:
    На интервалах \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n] \) (где \( \cos x \ge 0 \)) \( y = 0 \).
    На интервалах \( (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) \) (где \( \cos x < 0 \)) \( y = 2 \cos x \).
    График представляет собой горизонтальные отрезки на оси \( Ox \) и фрагменты косинусоиды с амплитудой 2.
  • Результат: График состоит из нулевых участков, чередующихся с отрицательными участками функции \( 2 \cos x \). Область значений: \( [-2; 0] \). Период \( 2\pi \).

    • Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.