Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 763

ГДЗ: Упражнение 763 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

763 упражнение:

Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку \( [-2\pi; -\pi] \):

1) \( 1 + 2 \cos x \ge 0 \)

Решение:

  • Шаг 1: Решим неравенство:
    \( 2 \cos x \ge -1 \),
    \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \).
  • Шаг 2: Общее решение неравенства \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \):
    Углы, в которых \( \cos x = -\frac{1}{2} \), это \( \pm \frac{2\pi}{3} \). Косинус больше или равен \( -\frac{1}{2} \) в интервале \( [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор решений на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).
    Положим \( n=-1 \):
    \( [-\frac{2\pi}{3} - 2\pi; \frac{2\pi}{3} - 2\pi] = [-\frac{8\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}] \).
    Пересечение \( [-\frac{8\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}] \) с \( [-2\pi; -\pi] \).
    \( -2\pi = -\frac{6\pi}{3} \), \( -\pi = -\frac{3\pi}{3} \).
    Интервал \( [-2\pi; -\pi] = [-\frac{6\pi}{3}; -\frac{3\pi}{3}] \).
    Пересечение: \( [-\frac{6\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}] = [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}] \).
  • Результат: Решения на промежутке: \( [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}] \).

    • Ответ: \( [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}] \)

    2) \( 1 - 2 \sin x < 0 \)

    Решение:

  • Шаг 1: Решим неравенство:
    \( -2 \sin x < -1 \),
    \( 2 \sin x > 1 \) (умножили на \(-1\), знак поменялся),
    \( \sin x > \frac{1}{2} \).
  • Шаг 2: Общее решение неравенства \( \sin x > \frac{1}{2} \):
    Углы, в которых \( \sin x = \frac{1}{2} \), это \( \frac{\pi}{6} \) и \( \frac{5\pi}{6} \). Синус больше \( \frac{1}{2} \) в интервале \( (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор решений на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).
    Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \) соответствует \( n=-1 \).
    Положим \( n=-1 \):
    \( (\frac{\pi}{6} - 2\pi; \frac{5\pi}{6} - 2\pi) = (\frac{\pi - 12\pi}{6}; \frac{5\pi - 12\pi}{6}) = (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \).
    Проверим, что \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \) содержится в \( [-2\pi; -\pi] \).
    \( -2\pi = -\frac{12\pi}{6} \). \( -\pi = -\frac{6\pi}{6} \).
    Поскольку \( -\frac{12\pi}{6} < -\frac{11\pi}{6} \) и \( -\frac{7\pi}{6} < -\frac{6\pi}{6} \), интервал находится внутри.
  • Результат: Решения на промежутке: \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \).

    • Ответ: \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \)

    3) \( 2 + \operatorname{tg} x > 0 \)

    Решение:

  • Шаг 1: Решим неравенство:
    \( \operatorname{tg} x > -2 \).
  • Шаг 2: Общее решение:
    В каждом интервале длины \( \pi \), где определен тангенс, решение: \( \operatorname{arctg} (-2) + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    Заметим, что \( \operatorname{arctg} (-2) = -\operatorname{arctg} 2 \).
    Общее решение: \( -\operatorname{arctg} 2 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор решений на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).
    Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \) включает интервалы для \( n=-2 \) и \( n=-1 \).
    Случай 1: \( n=-2 \).
    \( -\operatorname{arctg} 2 - 2\pi < x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \),
    \( -2\pi - \operatorname{arctg} 2 < x < -\frac{3\pi}{2} \).
    Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \):
    \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \) полностью содержит этот интервал, так как \( -2\pi < -2\pi - \operatorname{arctg} 2 \).
    Получаем \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \). Поправка: \( -2\pi - \operatorname{arctg} 2 < -2\pi \) (неправильно, \( -2\pi - \text{положительное число} \) меньше \( -2\pi \)).
    Правильно: \([ -2\pi; -\frac{3\pi}{2} ) \).
    \( -2\pi \le x < -\frac{3\pi}{2} \) и \( x > -2\pi - \operatorname{arctg} 2 \).
    Пересечение: \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \).
    Случай 2: \( n=-1 \).
    \( -\operatorname{arctg} 2 - \pi < x < \frac{\pi}{2} - \pi \),
    \( -\pi - \operatorname{arctg} 2 < x < -\frac{\pi}{2} \).
    Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \):
    \( [-2\pi; -\pi] \) содержит интервал \( ( -\pi; -\frac{\pi}{2} ) \).
    Пересечение: \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \). Поправка: \( x > -\pi - \operatorname{arctg} 2 \).
    Получаем: \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) \).
  • Результат: \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\pi; -\pi + \operatorname{arctg} 2) \). Проверка: \( \operatorname{arctg} (-2) + \pi (-1) = -\operatorname{arctg} 2 - \pi \).
    Интервал \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) \). Окончательная проверка: Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \).
    1) \( n=-2 \): \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \). Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \): \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \). Неправильно, \( -2\pi - \operatorname{arctg} 2 < -2\pi \).
    \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \) пересекается с \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \) по \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \).
    2) \( n=-1 \): \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) \). Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \): \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \). Неправильно.
    \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) \) пересекается с \( [-2\pi; -\pi] \) по \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\pi] \) и \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \). СЛОЖНО.
    На промежутке \( [-2\pi; -\pi] \), тангенс определен на: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \).
    Решения:
    На \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \): \( -2\pi \le x < -\frac{3\pi}{2} \). Т.к. \( \operatorname{tg} x > -2 \), получаем \( (-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \). Неправильно.
    На \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \): \( -\frac{3\pi}{2} < x \le -\pi \). Т.к. \( \operatorname{tg} x > -2 \), получаем \( (\operatorname{arctg}(-2) - \pi; -\pi] \).
    Окончательный ответ: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\pi; -\pi + \operatorname{arctg} 2] \). Нет.
    Искомые интервалы: \( (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \) и \( (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) \).
    Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \):
    1) \( [-2\pi; -\pi] \cap (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) = (-2\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{3\pi}{2}) \). Нет, \( -2\pi \) включен. \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \). Нет.
    2) \( [-2\pi; -\pi] \cap (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\frac{\pi}{2}) = (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \). Нет.
    \( [-2\pi; -\pi] = [-\frac{12\pi}{6}; -\frac{6\pi}{6}] \).
    1. \( n=-2 \): \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \). \( \operatorname{tg}(-2\pi)=0 > -2 \).
    2. \( n=-1 \): \( (\operatorname{arctg}(-2) - \pi; -\frac{\pi}{2}) \).
    \( \operatorname{arctg}(-2) - \pi = -\operatorname{arctg} 2 - \pi \).
    \( -\pi \approx -3.14 \). \( -\operatorname{arctg} 2 \approx -1.1 \). \( -\pi - \operatorname{arctg} 2 \approx -4.24 \). \( -2\pi \approx -6.28 \).
    На отрезке \( [-2\pi; -\pi] \):
    1) \( x \in [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \). \( \operatorname{tg} x > 0 \), всегда выполняется.
    2) \( x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \). \( \operatorname{tg} x \) возрастает от \( -\infty \) до \( 0 \).
    Решаем \( \operatorname{tg} x = -2 \) на \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \): \( x = \operatorname{arctg}(-2) + (-\pi) = -\operatorname{arctg} 2 - \pi \).
    Решение: \( (-\operatorname{arctg} 2 - \pi; -\pi] \).
    Объединяем: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\pi] \). Нет.
    Объединяем: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \). Нет.
    Объединяем: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (-\pi - \operatorname{arctg} 2; -\pi] \).
    Результат: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (\operatorname{arctg}(-2) - \pi; -\pi] \).

    • Ответ: \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \cup (\operatorname{arctg}(-2) - \pi; -\pi] \)

    4) \( 1 - 2 \operatorname{tg} x \le 0 \)

    Решение:

  • Шаг 1: Решим неравенство:
    \( -2 \operatorname{tg} x \le -1 \),
    \( 2 \operatorname{tg} x \ge 1 \) (умножили на \(-1\), знак поменялся),
    \( \operatorname{tg} x \ge \frac{1}{2} \).
  • Шаг 2: Общее решение:
    \( \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Отбор решений на промежутке \( [-2\pi; -\pi] \).
    Промежуток \( [-2\pi; -\pi] \) включает интервалы для \( n=-2 \) и \( n=-1 \).
    Случай 1: \( n=-2 \).
    \( \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) - 2\pi \le x < \frac{\pi}{2} - 2\pi \),
    \( -2\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2} \le x < -\frac{3\pi}{2} \).
    Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \): \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}) \) искомый интервал.
    Так как \( -2\pi < -2\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2} < -\frac{3\pi}{2} \), то пересечение:
    \( [ -2\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2}; -\frac{3\pi}{2}) \).
    Случай 2: \( n=-1 \).
    \( \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) - \pi \le x < \frac{\pi}{2} - \pi \),
    \( -\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2} \le x < -\frac{\pi}{2} \).
    Пересечение с \( [-2\pi; -\pi] \): \( (-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \).
    Так как \( -\pi < -\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2} < -\frac{\pi}{2} \), то пересечение:
    \( [ -\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2}; -\frac{\pi}{2}) \).
  • Результат: Объединение интервалов: \( [-2\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2}; -\frac{3\pi}{2}) \cup [ -\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2}; -\frac{\pi}{2}) \).

    • Ответ: \( [-2\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2}; -\frac{3\pi}{2}) \cup [ -\pi + \operatorname{arctg} \frac{1}{2}; -\frac{\pi}{2}) \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.