Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 769

ГДЗ: Упражнение 769 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

769 упражнение:

Решить графически уравнение:

1) \( \cos x = |x| \)

Решение:

  • Пояснение: Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \cos x \) и \( y = |x| \). \( y = |x| \) - график модуля, 'галочка' с вершиной в \( (0, 0) \).
  • Шаг 1: Построим графики.
    \( y = |x| \) находится выше или на оси \( Ox \). \( y = \cos x \) находится в \( [-1; 1] \).
    Пересечение возможно только там, где \( |x| \le 1 \). То есть \( x \in [-1; 1] \).
  • Шаг 2: Анализ пересечений на \( [0; 1] \):
    В точке \( x=0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( |0| = 0 \). \( 1 \neq 0 \).
    В точке \( x=1 \): \( \cos 1 \approx 0.54 \), \( |1| = 1 \).
    На \( [0; 1] \): \( \cos x \) убывает от 1 до \( \cos 1 \). \( |x| \) возрастает от 0 до 1. Графики пересекаются в единственной точке \( x=0 \). Нет.
    В точке \( x=0 \), \( \cos x > |x| \). В точке \( x \approx 0.739 \), \( \cos x = |x| \). (Решение \( \cos x = x \)).
  • Шаг 3: На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \approx [0; 1.57] \).
    \( \cos 0 = 1, |0| = 0 \).
    \( \cos \frac{\pi}{2} = 0, |\frac{\pi}{2}| \approx 1.57 \).
    Так как \( f(x) = \cos x - |x| \) непрерывна и \( f(0) = 1 > 0 \), а \( f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} < 0 \), существует ровно один корень \( x_1 \in (0; \frac{\pi}{2}) \).
  • Шаг 4: По четности функции \( \cos x \) и \( |x| \), если \( x_1 \) - корень, то \( -x_1 \) - тоже корень.
    Всего корней: два (симметрично).

    • Ответ: 2

    2) \( \sin x = -|x| + 1 \)

    Решение:

  • Пояснение: Корни уравнения - это абсциссы точек пересечения графиков функций \( y = \sin x \) и \( y = -|x| + 1 \). \( y = -|x| + 1 \) - 'галочка' с вершиной в \( (0, 1) \), ветви вниз.
  • Шаг 1: Построим графики.
    \( y = -|x| + 1 \): Вершина \( (0, 1) \), проходит через \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \). Находится в \( (-\infty; 1] \).
    \( y = \sin x \): Находится в \( [-1; 1] \).
  • Шаг 2: Анализ пересечений.
    \( x=0 \): \( \sin 0 = 0 \), \( -|0| + 1 = 1 \). \( 0 \neq 1 \). (Нет пересечения в \( x=0 \)).
  • Шаг 3:
    На отрезке \( [-1; 1] \): \( \sin x \) возрастает от \( \sin (-1) \approx -0.84 \) до \( \sin 1 \approx 0.84 \). \( -|x| + 1 \) убывает от 1 до 0 на \( [0; 1] \) и возрастает от 0 до 1 на \( [-1; 0] \).
    Точка \( (0, 1) \) - максимум \( y = -|x| + 1 \), не является точкой пересечения.
    Рассмотрим \( x \in (0; 1] \): \( \sin x \) возрастает от 0 до \( \sin 1 \). \( -x+1 \) убывает от 1 до 0. Так как \( \sin 0 = 0, -0+1 = 1 \), и \( \sin 1 \approx 0.84, -1+1 = 0 \), существует ровно один корень \( x_1 \in (0; 1) \).
    Рассмотрим \( x \in [-1; 0) \): \( \sin x \) возрастает от \( \sin (-1) \) до 0. \( x+1 \) убывает от 0 до 1. Так как \( \sin (-1) \approx -0.84, -|-1|+1 = 0 \), и \( \sin 0 = 0, -|0|+1 = 1 \), существует ровно один корень \( x_2 \in (-1; 0) \).
  • Шаг 4: Для \( |x| > 1 \), \( -|x| + 1 < 0 \). Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), пересечения возможны.
    Для \( |x| = 2\pi \approx 6.28 \), \( -|2\pi|+1 \approx -5.28 \). \( \sin x \in [-1; 1] \).
    Поскольку \( -|x|+1 \) убывает до \( -\infty \) при \( |x| \to \infty \), а \( \sin x \) колеблется, пересечений вне \( [-1; 1] \) не будет.
    Проверим: \( \sin x = -|x|+1 \le 0 \). Значит, \( x \in [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n] \).
    Корень 1: \( x_1 \in (0; 1) \). Корень 2: \( x_2 \in (-1; 0) \).
  • Результат: Два корня.

    • Ответ: 2

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.