Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 765

ГДЗ: Упражнение 765 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

765 упражнение:

Найти область определения функции:

1) \( y = \operatorname{tg} (2x + \frac{\pi}{6}) \)

Решение:

  • Пояснение: Функция тангенса \( \operatorname{tg} t \) определена, если ее аргумент \( t \) не равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 1: Условие на аргумент:
    \( 2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 2: Решим неравенство относительно \( x \):
    \( 2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n \),
    \( 2x \neq \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n \),
    \( 2x \neq \frac{2\pi}{6} + \pi n \),
    \( 2x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n \).
  • Шаг 3: Разделим на 2:
    \( x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} \).
  • Результат: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \mid n \in \mathbb{Z} \} \).

    • Ответ: \( x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} \)

    2) \( y = \sqrt{\operatorname{tg} x} \)

    Решение:

  • Пояснение: Для существования квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( \operatorname{tg} x \ge 0 \). Также, функция тангенса определена, если \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг: Решим неравенство \( \operatorname{tg} x \ge 0 \). На тригонометрическом круге это I и III четверти (включая концы, где \( \operatorname{tg} x = 0 \)). Исключаем точки, где \( \operatorname{tg} x \) не определен.
    Общее решение: \( \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
  • Результат: \( D(y) = [\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.