Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 759

ГДЗ: Упражнение 759 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

759 упражнение:

Найти множество значений функции:

1) \( y = 1 - 2 \sin^2 x \)

Решение:

  • Пояснение: Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos (2x) = 1 - 2 \sin^2 x \).
  • Шаг 1: Функция принимает вид \( y = \cos (2x) \).
  • Шаг 2: Область значений функции \( y = \cos t \) - это отрезок \( [-1; 1] \). Поскольку аргумент \( 2x \) может принимать любые действительные значения, \( \cos (2x) \) принимает все значения из отрезка \( [-1; 1] \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [-1; 1] \).

    • Ответ: \( [-1; 1] \)

    2) \( y = 2 \cos^2 x - 1 \)

    Решение:

  • Пояснение: Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos (2x) = 2 \cos^2 x - 1 \).
  • Шаг 1: Функция принимает вид \( y = \cos (2x) \).
  • Шаг 2: Область значений функции \( y = \cos t \) - это отрезок \( [-1; 1] \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [-1; 1] \).

    • Ответ: \( [-1; 1] \)

    3) \( y = 3 - 2 \sin^2 x \)

    Решение:

  • Пояснение: Известно, что \( 0 \le \sin^2 x \le 1 \).
  • Шаг 1: Умножим неравенство на \(-2\):
    \( -2 \le -2 \sin^2 x \le 0 \). (Неравенство меняет знак).
  • Шаг 2: Прибавим 3 ко всем частям:
    \( 3 - 2 \le 3 - 2 \sin^2 x \le 3 + 0 \),
    \( 1 \le y \le 3 \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [1; 3] \).

    • Ответ: \( [1; 3] \)

    4) \( y = 2 \cos^2 x + 5 \)

    Решение:

  • Пояснение: Известно, что \( 0 \le \cos^2 x \le 1 \).
  • Шаг 1: Умножим неравенство на 2:
    \( 2 \cdot 0 \le 2 \cos^2 x \le 2 \cdot 1 \),
    \( 0 \le 2 \cos^2 x \le 2 \).
  • Шаг 2: Прибавим 5 ко всем частям:
    \( 0 + 5 \le 2 \cos^2 x + 5 \le 2 + 5 \),
    \( 5 \le y \le 7 \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [5; 7] \).

    • Ответ: \( [5; 7] \)

    5) \( y = \cos 3x \sin x - \sin 3x \cos x + 4 \)

    Решение:

  • Пояснение: Воспользуемся формулой синуса разности: \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
  • Шаг 1: Преобразуем выражение в скобках. Вынесем минус:
    \( y = -(\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x) + 4 \).
  • Шаг 2: Применим формулу синуса разности:
    \( y = -\sin (3x - x) + 4 \),
    \( y = -\sin (2x) + 4 \).
  • Шаг 3: Область значений \( \sin (2x) \) - это \( [-1; 1] \).
    Тогда \( -1 \le \sin (2x) \le 1 \).
  • Шаг 4: Умножим на \(-1\) (меняем знаки неравенства):
    \( -1 \le -\sin (2x) \le 1 \).
  • Шаг 5: Прибавим 4:
    \( -1 + 4 \le -\sin (2x) + 4 \le 1 + 4 \),
    \( 3 \le y \le 5 \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [3; 5] \).

    • Ответ: \( [3; 5] \)

    6) \( y = \cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x - 3 \)

    Решение:

  • Пояснение: Воспользуемся формулой косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
  • Шаг 1: Применим формулу к первым двум слагаемым:
    \( y = \cos (2x - x) - 3 \),
    \( y = \cos x - 3 \).
  • Шаг 2: Область значений \( \cos x \) - это \( [-1; 1] \).
    Тогда \( -1 \le \cos x \le 1 \).
  • Шаг 3: Вычтем 3:
    \( -1 - 3 \le \cos x - 3 \le 1 - 3 \),
    \( -4 \le y \le -2 \).
  • Результат: Множество значений \( E(y) = [-4; -2] \).

    • Ответ: \( [-4; -2] \)

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.