Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 48 / Задание 760

ГДЗ: Упражнение 760 - § 48 (Геометрический смысл производной) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 227, 228
Глава: Глава 8
Параграф: § 48 - Геометрический смысл производной
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

760 упражнение:

Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1) \( y = x^2 + \cos x \)

Решение:

  • Пояснение: Область определения \( D(y) = \mathbb{R} \) симметрична относительно нуля. Проверим \( f(-x) \).
  • Шаг: Подставим \( -x \):
    \( f(-x) = (-x)^2 + \cos (-x) \).
    Используем свойства: \( (-x)^2 = x^2 \) и \( \cos (-x) = \cos x \).
    \( f(-x) = x^2 + \cos x = f(x) \).
  • Результат: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция чётная.

    • Ответ: Чётная

    2) \( y = x^3 - \sin x \)

    Решение:

  • Пояснение: Область определения \( D(y) = \mathbb{R} \) симметрична относительно нуля. Проверим \( f(-x) \).
  • Шаг: Подставим \( -x \):
    \( f(-x) = (-x)^3 - \sin (-x) \).
    Используем свойства: \( (-x)^3 = -x^3 \) и \( \sin (-x) = -\sin x \).
    \( f(-x) = -x^3 - (-\sin x) = -x^3 + \sin x = -(x^3 - \sin x) = -f(x) \).
  • Результат: Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция нечётная.

    • Ответ: Нечётная

    3) \( y = (1 - x^2) \cos x \)

    Решение:

  • Пояснение: Область определения \( D(y) = \mathbb{R} \) симметрична относительно нуля. Проверим \( f(-x) \).
  • Шаг: Подставим \( -x \):
    \( f(-x) = (1 - (-x)^2) \cos (-x) \).
    Используем свойства: \( (-x)^2 = x^2 \) и \( \cos (-x) = \cos x \).
    \( f(-x) = (1 - x^2) \cos x = f(x) \).
  • Результат: Так как \( f(-x) = f(x) \), функция чётная.

    • Ответ: Чётная

    4) \( y = (1 + \sin x) \sin x \)

    Решение:

  • Пояснение: Область определения \( D(y) = \mathbb{R} \) симметрична. Проверим \( f(-x) \).
  • Шаг: Подставим \( -x \):
    \( f(-x) = (1 + \sin (-x)) \sin (-x) \).
    Используем свойство \( \sin (-x) = -\sin x \).
    \( f(-x) = (1 - \sin x) (-\sin x) = -\sin x + \sin^2 x \).
  • Сравнение:
    \( f(x) = \sin x + \sin^2 x \).
    \( -f(x) = -\sin x - \sin^2 x \).
    Поскольку \( f(-x) \neq f(x) \) (сравниваем \( -\sin x + \sin^2 x \) и \( \sin x + \sin^2 x \)) и \( f(-x) \neq -f(x) \) (сравниваем \( -\sin x + \sin^2 x \) и \( -\sin x - \sin^2 x \)), функция является функцией общего вида.
  • Пример: Возьмем \( x = \frac{\pi}{2} \). \( f(\frac{\pi}{2}) = (1+1) \cdot 1 = 2 \). Возьмем \( x = -\frac{\pi}{2} \). \( f(-\frac{\pi}{2}) = (1+(-1)) \cdot (-1) = 0 \). \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \).
  • Результат: Функция общего вида.

    • Ответ: Общего вида

    Что применять при решении

    Область определения функции
    Множество всех значений аргумента \( x \), при которых функция \( y=f(x) \) имеет смысл. Основные ограничения: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение четной степени должно быть неотрицательным, аргумент тангенса не должен быть равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
    \( D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ определено} \} \)
    Множество значений функции (Область значений)
    Множество всех значений \( y \), которые может принимать функция \( y=f(x) \). Для тригонометрических функций \( \sin x \) и \( \cos x \) область значений - это отрезок \( [-1; 1] \).
    \( E(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D(f) \} \)
    Четность и нечетность функции
    Функция \( f(x) \) называется четной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Функция называется нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида.
    Наименьший положительный период тригонометрических функций
    Число \( T > 0 \) называется периодом функции \( f(x) \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Для функций \( y = \sin(kx) \) и \( y = \cos(kx) \) наименьший положительный период равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \). Для \( y = \operatorname{tg}(kx) \) и \( y = \operatorname{ctg}(kx) \) период равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 48

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.