ГДЗ: Упражнение 911 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Критические точки функции — это внутренние точки её области определения, в которых производная равна нулю или не существует. На графике функции \( y = f(x) \) (рис. 131):

• Производная равна нулю в точках, где касательная к графику параллельна оси \( Ox \). Это точки локальных максимумов и минимумов, где график плавно меняет направление. На графике это приблизительно \( x = -2 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \).

• Производная не существует в точках, где график имеет «излом» (острый угол). На графике такая точка: \( x = -1 \). (Хотя этот график выглядит как плавная кривая, типичные примеры критических точек, где производная не существует, — это «острые» точки).

Учитывая, что на рисунке 131 график представляет собой гладкую кривую (без острых углов), критические точки — это те, в которых производная равна нулю (стационарные точки):

• В точке \( x \approx -2 \) — точка максимума.

• В точке \( x \approx 0 \) — точка минимума.

• В точке \( x \approx 2 \) — точка максимума.

Ответ: Критические точки: \( x \approx -2 \), \( x \approx 0 \), \( x \approx 2 \).

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.