ГДЗ: Упражнение 916 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Найдём производную и проверим, меняет ли она знак.

1. Найдём производную:
   \( y' = (2x + 5)' = 2 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 2 = 0 \). Это равенство невозможно.

Так как производная \( y' = 2 \) всегда положительна, функция \( y = 2x + 5 \) строго возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: Не имеет.

Пояснение: Найдём производную и проверим, меняет ли она знак.

1. Найдём производную:
   \( y' = (7 - 5x)' = -5 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( -5 = 0 \). Это равенство невозможно.

Так как производная \( y' = -5 \) всегда отрицательна, функция \( y = 7 - 5x \) строго убывает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: Не имеет.

Пояснение: Найдём производную и проверим, меняет ли она знак.

1. Найдём производную:
   \( y' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 3x^2 + 2 = 0 \)
   \( 3x^2 = -2 \). Это уравнение не имеет действительных решений.

Так как производная \( y' = 3x^2 + 2 \) всегда строго положительна (\( 3x^2 \ge 0 \), поэтому \( 3x^2 + 2 > 0 \)), функция \( y = x^3 + 2x \) строго возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: Не имеет.

Пояснение: Найдём производную и проверим, имеет ли она стационарные точки и меняет ли там знак.

1. Область определения: \( x \ne 0 \).

2. Найдём производную:
   \( y' = \left( \frac{1}{2} x - 2x^{-1} \right)' = \frac{1}{2} - 2 \cdot (-1) x^{-2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2} \)

3. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2} = 0 \)
   \( \frac{2}{x^2} = -\frac{1}{2} \)
   \( x^2 = -4 \). Это уравнение не имеет действительных решений.

Так как \( x^2 > 0 \) при \( x \ne 0 \), то \( \frac{2}{x^2} > 0 \). Следовательно, производная \( y' = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2} \) всегда положительна на области определения функции. Функция \( y = \frac{1}{2} x - \frac{2}{x} \) строго возрастает на интервалах \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \) и не имеет точек экстремума.

Ответ: Не имеет.

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.