ГДЗ: Упражнение 913 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \):
   \( y' = \left( 2x + \frac{x^2}{2} \right)' = (2x)' + \frac{1}{2} (x^2)' = 2 + \frac{1}{2} (2x) = 2 + x \)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   \( 2 + x = 0 \)
   \( x = -2 \)

Ответ: Стационарная точка: \( -2 \).

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \). Перепишем функцию: \( y = \frac{x^2}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} x^{-1} \).
   \( y' = \left( \frac{x}{2} + \frac{3}{2} x^{-1} \right)' = \frac{1}{2} (x)' + \frac{3}{2} (x^{-1})' = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} (-1) x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2x^2} \)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   \( \frac{1}{2} - \frac{3}{2x^2} = 0 \)
   \( \frac{1}{2} = \frac{3}{2x^2} \)
   \( 2x^2 = 6 \)
   \( x^2 = 3 \)
   \( x = \pm \sqrt{3} \)

3. Проверим принадлежность точек области определения. Область определения функции: \( x \ne 0 \). Найденные точки \( \sqrt{3} \) и \( -\sqrt{3} \) удовлетворяют этому условию.

Ответ: Стационарные точки: \( \sqrt{3} \), \( -\sqrt{3} \).

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \). Используем правило производной сложной функции:
   \( y' = (e^{x^2} - 1)' = (e^{x^2})' - (1)' = e^{x^2} \cdot (x^2)' - 0 = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   \( 2x e^{x^2} = 0 \)
   Так как показательная функция \( e^{x^2} \) всегда строго положительна (\( e^{x^2} > 0 \)), то для равенства нулю необходимо, чтобы множитель \( 2x \) был равен нулю:
   \( 2x = 0 \)
   \( x = 0 \)

Ответ: Стационарная точка: \( 0 \).

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \).
   \( y' = \left( 2\sqrt{x^2 + x} \right)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot (x^2 + x)' = \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + x}} \)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   \( 2x + 1 = 0 \)
   \( 2x = -1 \)
   \( x = -\frac{1}{2} \)

3. Проверим принадлежность точки области определения. Область определения функции: \( x^2 + x \ge 0 \implies x(x + 1) \ge 0 \). Это выполняется при \( x \le -1 \) или \( x \ge 0 \).
   Проверим точку \( x = -\frac{1}{2} \): \( (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \). Так как \( -\frac{1}{4} < 0 \), то точка \( x = -\frac{1}{2} \) не принадлежит области определения функции, а значит, не является стационарной точкой.

Ответ: Стационарных точек нет.

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.