ГДЗ: Упражнение 915 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Найдём критические точки, а затем исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 3x^2 - 6x = 0 \)
   \( 3x(x - 2) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \)

3. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума):
   Производная \( y' = 3x^2 - 6x \) — это парабола, ветви направлены вверх, корни 0 и 2.
   

   • Если \( x < 0 \), то \( y' > 0 \) (возрастание).

   • Если \( 0 < x < 2 \), то \( y' < 0 \) (убывание).

   • Если \( x > 2 \), то \( y' > 0 \) (возрастание).

   В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.
   В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:
   Максимум: \( y_{\text{max}} = y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0 \)
   Минимум: \( y_{\text{min}} = y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4 \)

Ответ: Точка максимума \( 0 \), значение функции \( 0 \). Точка минимума \( 2 \), значение функции \( -4 \).

Пояснение: Найдём критические точки, а затем исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = (x^3 - 8x^2 + 3)' = 3x^2 - 16x \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 3x^2 - 16x = 0 \)
   \( x(3x - 16) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \frac{16}{3} \)

3. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума):
   Производная \( y' = 3x^2 - 16x \) — это парабола, ветви направлены вверх, корни 0 и \( \frac{16}{3} \).
   

   • Если \( x < 0 \), то \( y' > 0 \) (возрастание).

   • Если \( 0 < x < \frac{16}{3} \), то \( y' < 0 \) (убывание).

   • Если \( x > \frac{16}{3} \), то \( y' > 0 \) (возрастание).

   В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.
   В точке \( x = \frac{16}{3} \) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:
   Максимум: \( y_{\text{max}} = y(0) = (0)^3 - 8(0)^2 + 3 = 3 \)
   Минимум: \( y_{\text{min}} = y(\frac{16}{3}) = (\frac{16}{3})^3 - 8(\frac{16}{3})^2 + 3 = \frac{16^2}{3^2} (\frac{16}{3} - 8) + 3 = \frac{256}{9} (\frac{16 - 24}{3}) + 3 = \frac{256}{9} \cdot (-\frac{8}{3}) + 3 = -\frac{2048}{27} + \frac{81}{27} = -\frac{1967}{27} \)

Ответ: Точка максимума \( 0 \), значение функции \( 3 \). Точка минимума \( \frac{16}{3} \), значение функции \( -\frac{1967}{27} \).

Пояснение: Найдём критические точки, а затем исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 1 + \cos x = 0 \)
   \( \cos x = -1 \)
   \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

3. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума):
   Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( 1 + \cos x \ge 0 \). Производная \( y' = 1 + \cos x \) всегда неотрицательна. Производная равна нулю только в стационарных точках \( x = \pi + 2\pi n \), но не меняет знак при переходе через них.

Следовательно, функция \( y = x + \sin x \) является возрастающей и не имеет точек экстремума.

Ответ: Точек экстремума нет.

Пояснение: Найдём критические точки, а затем исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = (2\cos x + x)' = -2\sin x + 1 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( -2\sin x + 1 = 0 \)
   \( 2\sin x = 1 \)
   \( \sin x = \frac{1}{2} \)
   Корни: \( x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

3. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума):
   \( y' = 1 - 2\sin x \). Знак \( y' \) зависит от \( \sin x \).

   • На интервале \( (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n) \): \( \sin x > \frac{1}{2} \implies y' < 0 \) (убывание).

   • На интервале \( (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi (n+1)) \): \( \sin x < \frac{1}{2} \implies y' > 0 \) (возрастание).

   В точке \( x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точки максимума.
   В точке \( x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точки минимума.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:
   Максимум: \( y_{\text{max}} = y(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = 2\cos (\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

   Минимум: \( y_{\text{min}} = y(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n) = 2\cos (\frac{5\pi}{6}) + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)

Ответ: Точки максимума: \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), значения \( \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \). Точки минимума: \( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), значения \( -\sqrt{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.