ГДЗ: Упражнение 919 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Найдём критические точки и исследуем знак производной.

1. Область определения: \( 3 - x \ge 0 \implies x \le 3 \).

2. Найдём производную (для \( x < 3 \)):
   \( y' = (x + \sqrt{3 - x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \)

3. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} = 0 \)
   \( 1 = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \)
   \( 2\sqrt{3 - x} = 1 \)
   \( \sqrt{3 - x} = \frac{1}{2} \)
   \( 3 - x = \frac{1}{4} \)
   \( x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} = 2,75 \). \( x = \frac{11}{4} \) — стационарная точка.

4. Точки, где \( y' \) не существует: \( x = 3 \) (граничная точка).

5. Исследуем знак производной: \( y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2\sqrt{3 - x} - 1}{2\sqrt{3 - x}} \). Знак \( y' \) определяется знаком числителя \( 2\sqrt{3 - x} - 1 \).

   • Если \( x < \frac{11}{4} \), например \( x = 0 \): \( 2\sqrt{3} - 1 \approx 2(1,73) - 1 = 2,46 > 0 \). \( y' > 0 \) (возрастание).

   • Если \( \frac{11}{4} < x < 3 \), например \( x = 2.9 \): \( 2\sqrt{0.1} - 1 \approx 2(0.316) - 1 = -0,368 < 0 \). \( y' < 0 \) (убывание).

   В точке \( x = \frac{11}{4} \) производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.
   В граничной точке \( x = 3 \) функция также достигает локального минимума.

Ответ: Точка максимума: \( \frac{11}{4} \).

Пояснение: Найдём критические точки и исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = ((x - 1)^7)' = 7(x - 1)^6 \cdot (x - 1)' = 7(x - 1)^6 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 7(x - 1)^6 = 0 \)
   \( x - 1 = 0 \)
   \( x = 1 \)

3. Исследуем знак производной:
   Поскольку \( (x - 1)^6 \ge 0 \) для всех \( x \), то \( y' = 7(x - 1)^6 \ge 0 \). Производная всегда неотрицательна и не меняет знак при переходе через \( x = 1 \).

Следовательно, функция строго возрастает и не имеет точек экстремума.

Ответ: Точек экстремума нет.

Пояснение: Найдём критические точки и исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = (x - \sin 2x)' = 1 - \cos 2x \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 1 - 2\cos 2x = 0 \)
   \( 2\cos 2x = 1 \)
   \( \cos 2x = \frac{1}{2} \)
   \( 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)
   \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

3. Исследуем знак производной: \( y' = 1 - 2\cos 2x \).
   Например, в точках \( x = \frac{\pi}{6} \) (\( 2x = \frac{\pi}{3} \)) и \( x = -\frac{\pi}{6} \) (\( 2x = -\frac{\pi}{3} \)).
   

   • При переходе через \( x = \frac{\pi}{6} \): \( 2x \) меняется от меньшего к большему, чем \( \frac{\pi}{3} \).
     Например, \( 2x = 0 \): \( y' = 1 - 2\cos 0 = 1 - 2 = -1 < 0 \) (убывание).
     Например, \( 2x = \frac{\pi}{2} \): \( y' = 1 - 2\cos \frac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1 > 0 \) (возрастание).
     В точке \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точки минимума.

   • При переходе через \( x = -\frac{\pi}{6} \): \( 2x \) меняется от меньшего к большему, чем \( -\frac{\pi}{3} \).
     Например, \( 2x = -\frac{\pi}{2} \): \( y' = 1 - 2\cos (-\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1 > 0 \) (возрастание).
     Например, \( 2x = -\pi \): \( y' = 1 - 2\cos (-\pi) = 1 - 2(-1) = 3 > 0 \). Ошибка в анализе!
     На самом деле, \( \cos 2x \) при переходе через \( \frac{\pi}{3} \) (и \( -\frac{\pi}{3} \)) меняется от большего к меньшему, чем \( \frac{1}{2} \).
     В точках \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) \( (2x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n) \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) \( (2x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n) \), \( \cos 2x \) возрастает, значит \( y' \) убывает, то есть меняет знак с «+» на «−» — точки максимума.
     В точках \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) \( (2x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi n) \) и \( x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) \( (2x = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n) \), \( \cos 2x \) убывает, значит \( y' \) возрастает, то есть меняет знак с «−» на «+» — точки минимума.

Ответ: Точки максимума: \( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). Точки минимума: \( \pi \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Пояснение: Найдём критические точки и исследуем знак производной.

1. Найдём производную:
   \( y' = (\cos 3x - 3x)' = -\sin 3x \cdot 3 - 3 = -3\sin 3x - 3 = -3(\sin 3x + 1) \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( -3(\sin 3x + 1) = 0 \)
   \( \sin 3x = -1 \)
   \( 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
   \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

3. Исследуем знак производной:
   Поскольку \( -1 \le \sin 3x \le 1 \), то \( 0 \le \sin 3x + 1 \le 2 \). Следовательно, \( y' = -3(\sin 3x + 1) \le 0 \). Производная всегда неположительна и не меняет знак при переходе через стационарные точки.

Следовательно, функция убывает (нестрого) и не имеет точек экстремума.

Ответ: Точек экстремума нет.

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.