ГДЗ: Упражнение 922 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Найдём критические точки и исследуем знак производной.

1. Область определения: \( \mathbb{R} \).

2. Найдём производную (правило для произведения):
   \( y' = ((x + 1)^n)' e^{-x} + (x + 1)^n (e^{-x})' \)
   \( y' = n(x + 1)^{n-1} e^{-x} + (x + 1)^n (-e^{-x}) \)
   \( y' = e^{-x} (x + 1)^{n-1} [n - (x + 1)] \)
   \( y' = e^{-x} (x + 1)^{n-1} (n - 1 - x) \)

3. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( e^{-x} (x + 1)^{n-1} (n - 1 - x) = 0 \). Так как \( e^{-x} > 0 \), то:
   \( (x + 1)^{n-1} = 0 \implies x_1 = -1 \), при \( n \ge 2 \).
   \( n - 1 - x = 0 \implies x_2 = n - 1 \).
   Критические точки: \( x = -1 \) (при \( n \ge 2 \)) и \( x = n - 1 \).

4. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума).

   • Случай 1: \( n = 1 \)
     \( y = (x + 1) e^{-x} \). \( y' = e^{-x} (x + 1)^{1-1} (1 - 1 - x) = e^{-x} (-x) = -x e^{-x} \).
     Критическая точка: \( -x e^{-x} = 0 \implies x = 0 \).
     Если \( x < 0 \), то \( -x > 0 \implies y' > 0 \) (возрастание).
     Если \( x > 0 \), то \( -x < 0 \implies y' < 0 \) (убывание).
     \( x = 0 \) — точка максимума. Значение: \( y(0) = 1 \cdot e^0 = 1 \).

   • Случай 2: \( n \ge 2 \) (четное)
     \( n - 1 \) нечетное. Множитель \( (x + 1)^{n-1} \) меняет знак в \( x = -1 \). \( n - 1 - x \) меняет знак в \( x = n - 1 \).
     На интервале \( (-1; n - 1) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x > 0 \implies y' > 0 \) (возрастание).
     На интервале \( (n - 1; +\infty) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x < 0 \implies y' < 0 \) (убывание).
     \( x = -1 \) — точка минимума (т.к. \( n-1 \) нечетное).
     \( x = n - 1 \) — точка максимума.

   • Случай 3: \( n \ge 3 \) (нечетное)
     \( n - 1 \) четное. Множитель \( (x + 1)^{n-1} \ge 0 \) не меняет знак в \( x = -1 \).
     Критическая точка \( x = -1 \) не является экстремумом.
     На интервале \( (-1; n - 1) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x > 0 \implies y' > 0 \) (возрастание).
     На интервале \( (n - 1; +\infty) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x < 0 \implies y' < 0 \) (убывание).
     \( x = n - 1 \) — точка максимума.

Ответ:

• Если \( n = 1 \), то \( x = 0 \) — точка максимума.

• Если \( n \ge 2 \) и \( n \) четное, то \( x = -1 \) — точка минимума, \( x = n - 1 \) — точка максимума.

• Если \( n \ge 3 \) и \( n \) нечетное, то \( x = n - 1 \) — точка максимума.

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.