ГДЗ: Упражнение 914 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак. Для параболы \( y = ax^2 + bx + c \) при \( a > 0 \) точка минимума находится в вершине.

1. Найдём производную:
   \( y' = (2x^2 - 20x + 1)' = 4x - 20 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 4x - 20 = 0 \)
   \( 4x = 20 \)
   \( x = 5 \)

3. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума):
   Производная \( y' = 4x - 20 \) является возрастающей линейной функцией, которая меняет знак с «−» на «+» в точке \( x = 5 \).
   Если \( x < 5 \), то \( y' < 0 \) (функция убывает).
   Если \( x > 5 \), то \( y' > 0 \) (функция возрастает).
   Следовательно, в точке \( x = 5 \) функция имеет минимум.

Ответ: Точка минимума: \( 5 \).

Пояснение: Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак. Для параболы \( y = ax^2 + bx + c \) при \( a > 0 \) точка минимума находится в вершине.

1. Найдём производную:
   \( y' = (3x^2 + 36x - 1)' = 6x + 36 \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 6x + 36 = 0 \)
   \( 6x = -36 \)
   \( x = -6 \)

3. Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума):
   Производная \( y' = 6x + 36 \) является возрастающей линейной функцией, которая меняет знак с «−» на «+» в точке \( x = -6 \).
   Если \( x < -6 \), то \( y' < 0 \) (функция убывает).
   Если \( x > -6 \), то \( y' > 0 \) (функция возрастает).
   Следовательно, в точке \( x = -6 \) функция имеет минимум.

Ответ: Точка минимума: \( -6 \).

Пояснение: Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак.

1. Область определения: \( x \ne 0 \).

2. Найдём производную:
   \( y' = \left( x + \frac{5}{x} \right)' = 1 - \frac{5}{x^2} \)

3. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( 1 - \frac{5}{x^2} = 0 \)
   \( 1 = \frac{5}{x^2} \)
   \( x^2 = 5 \)
   \( x = \pm \sqrt{5} \)

4. Исследуем знак производной. Приведём к общему знаменателю: \( y' = \frac{x^2 - 5}{x^2} \).
   Знаменатель \( x^2 \) всегда положителен (при \( x \ne 0 \)). Знак производной определяется знаком числителя \( x^2 - 5 \).

   • Если \( x < -\sqrt{5} \), например \( x = -3 \), то \( y' > 0 \) (возрастание).

   • Если \( -\sqrt{5} < x < 0 \), например \( x = -1 \), то \( y' < 0 \) (убывание).

   • Если \( 0 < x < \sqrt{5} \), например \( x = 1 \), то \( y' < 0 \) (убывание).

   • Если \( x > \sqrt{5} \), например \( x = 3 \), то \( y' > 0 \) (возрастание).

   В точке \( x = -\sqrt{5} \) производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.
   В точке \( x = \sqrt{5} \) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: Точка максимума: \( -\sqrt{5} \). Точка минимума: \( \sqrt{5} \).

Пояснение: Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак.

1. Найдём производную:
   \( y' = \left( 4 + \frac{x}{16} \right)' = 0 + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} \)

2. Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)):
   \( \frac{1}{16} = 0 \). Это равенство не выполняется ни при каком \( x \).

Так как производная \( y' = \frac{1}{16} \) всегда положительна, функция \( y = 4 + \frac{x}{16} \) строго возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: Точек экстремума нет.

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.