ГДЗ: Упражнение 912 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \):
   \( y' = \left( x + \frac{8}{x} \right)' = x' + 8 \cdot \left( x^{-1} \right)' = 1 + 8 \cdot (-1) x^{-2} = 1 - \frac{8}{x^2} \)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   \( 1 - \frac{8}{x^2} = 0 \)
   \( 1 = \frac{8}{x^2} \)
   \( x^2 = 8 \)
   \( x = \pm \sqrt{8} = \pm 2 \sqrt{2} \)

3. Проверим принадлежность точек области определения. Область определения функции \( y = x + \frac{8}{x} \) — все \( x \ne 0 \). Найденные точки \( x = 2 \sqrt{2} \) и \( x = -2 \sqrt{2} \) удовлетворяют этому условию.

Ответ: Стационарные точки: \( 2 \sqrt{2} \), \( -2 \sqrt{2} \).

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \):
   \( y' = \left( 2x^3 - 15x^2 + 36x \right)' = 2 \cdot 3x^2 - 15 \cdot 2x + 36 = 6x^2 - 30x + 36 \)

2. Приравняем производную к нулю и решим квадратное уравнение:
   \( 6x^2 - 30x + 36 = 0 \)
   Разделим обе части на 6:
   \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

3. Найдём корни уравнения (по теореме Виета или через дискриминант):
   \( x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0 \)
   \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \)

Ответ: Стационарные точки: \( 2 \), \( 3 \).

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \):
   \( y' = \left( e^{2x} - 2e^x \right)' = (e^{2x})' - (2e^x)' = e^{2x} \cdot (2x)' - 2e^x = 2e^{2x} - 2e^x \)

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   \( 2e^{2x} - 2e^x = 0 \)
   Вынесем общий множитель \( 2e^x \):
   \( 2e^x (e^x - 1) = 0 \)

3. Найдём корни. Так как \( e^x > 0 \) для всех \( x \), то \( 2e^x \ne 0 \). Следовательно:
   \( e^x - 1 = 0 \)
   \( e^x = 1 \)
   \( x = \ln(1) = 0 \)

Ответ: Стационарная точка: \( 0 \).

Пояснение: Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдём производную функции \( y = f(x) \):
   \( y' = (\sin x - \cos x)' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x \)

2. Приравняем производную к нулю и решим тригонометрическое уравнение:
   \( \cos x + \sin x = 0 \)
   Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \ne 0 \), что не даст решений, отличных от найденных):
   \( 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)
   \( 1 + \text{tg} x = 0 \)
   \( \text{tg} x = -1 \)

3. Найдём корни уравнения:
   \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: Стационарные точки: \( -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.