ГДЗ: Упражнение 918 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.

1. Область определения: \( 2 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 2 \implies x \le \frac{2}{3} \).

2. Найдём производную:
   \( y' = \left( \sqrt{2 - 3x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{2 - 3x}} \cdot (2 - 3x)' = \frac{-3}{2\sqrt{2 - 3x}} \)

3. Точки, где \( y' = 0 \): Числитель \( -3 \ne 0 \), поэтому \( y' \) нигде не равна нулю.

4. Точки, где \( y' \) не существует: Знаменатель равен нулю при \( 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} \). В этой точке функция определена (\( y(\frac{2}{3}) = 0 \)). Так как \( x = \frac{2}{3} \) — граничная точка области определения, и в ней функция определена, но производная не существует, она является критической точкой.

Ответ: Критическая точка: \( \frac{2}{3} \).

Пояснение: Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.

1. Область определения: \( x^3 - 3x \ge 0 \implies x(x^2 - 3) \ge 0 \implies x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \ge 0 \). Интервалы: \( [-\sqrt{3}; 0] \cup [\sqrt{3}; +\infty) \).

2. Найдём производную (для внутренних точек):
   \( y' = \left( \sqrt{x^3 - 3x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - 3x}} \cdot (x^3 - 3x)' = \frac{3x^2 - 3}{2\sqrt{x^3 - 3x}} = \frac{3(x^2 - 1)}{2\sqrt{x^3 - 3x}} \)

3. Точки, где \( y' = 0 \): Числитель \( 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \).
   Проверим принадлежность области определения:

   • \( x = 1 \): \( 1^3 - 3(1) = -2 < 0 \). Не принадлежит области определения.

   • \( x = -1 \): \( (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \ge 0 \). Принадлежит области определения. \( x = -1 \) — критическая точка (стационарная).

4. Точки, где \( y' \) не существует: Знаменатель равен нулю (граничные точки области определения): \( x^3 - 3x = 0 \implies x = 0, x = \pm \sqrt{3} \). Это критические точки (внутренние, где производная не существует — их следует проверять, но в школьном курсе обычно считают их критическими).

Ответ: Критические точки: \( -\sqrt{3} \), \( -1 \), \( 0 \), \( \sqrt{3} \).

Пояснение: Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует. Функция может быть записана как:

\( y = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x \ge 1 \\ -(x - 1), & \text{если } x < 1 \end{cases} \)

1. Найдём производную (для \( x \ne 1 \)):
   \( y' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 1 \\ -1, & \text{если } x < 1 \end{cases} \)

2. Точки, где \( y' = 0 \): \( y' \) нигде не равна нулю.

3. Точки, где \( y' \) не существует: В точке \( x = 1 \) производная не существует, так как левосторонняя производная (\(-1\)) не равна правосторонней (\(1\)). Это критическая точка (точка «излома»).

Ответ: Критическая точка: \( 1 \).

Пояснение: Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует. Для функции с абсолютными значениями производная не существует в точках, где подмодульное выражение равно нулю (точки «излома»).

1. Первый модуль: \( |x| \). Производная не существует в \( x = 0 \).

2. Второй модуль: \( |x^2 - |x| - 2| \). Точки «излома» также могут возникнуть, когда \( x^2 - |x| - 2 = 0 \).

   • Если \( x \ge 0 \), то \( x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \). Подходит \( x = 2 \) (\( x = -1 \) не подходит).

   • Если \( x < 0 \), то \( x^2 - (-x) - 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 \). Подходит \( x = -2 \) (\( x = 1 \) не подходит).

   Критические точки из «изломов»: \( x = -2, 0, 2 \).

3. Стационарные точки \( y' = 0 \): Найдем производную на интервалах, где подмодульные выражения не равны нулю, и приравняем её к нулю.

   • На интервале \( (2; +\infty) \), \( y = x^2 - x - 2 \). \( y' = 2x - 1 \). \( 2x - 1 = 0 \implies x = 0.5 \). Не принадлежит интервалу.

   • На интервале \( (0; 2) \), \( y = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2 \). \( y' = -2x + 1 \). \( -2x + 1 = 0 \implies x = 0.5 \). Принадлежит интервалу. \( x = 0.5 \) — критическая точка (стационарная).

   • На интервале \( (-2; 0) \), \( y = -(x^2 + x - 2) = -x^2 - x + 2 \). \( y' = -2x - 1 \). \( -2x - 1 = 0 \implies x = -0.5 \). Принадлежит интервалу. \( x = -0.5 \) — критическая точка (стационарная).

   • На интервале \( (-\infty; -2) \), \( y = x^2 + x - 2 \). \( y' = 2x + 1 \). \( 2x + 1 = 0 \implies x = -0.5 \). Не принадлежит интервалу.

Ответ: Критические точки: \( -2 \), \( -0.5 \), \( 0 \), \( 0.5 \), \( 2 \).

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.