ГДЗ: Упражнение 917 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция непрерывна на \([-1; 7]\). Используем данные для построения эскиза.

• Границы и значения: Точки \( (-1; 0) \) и \( (7; -2) \).

• Монотонность:

  • \( f'(x) > 0 \) при \( -1 < x < 4 \): функция возрастает на интервале \( (-1; 4) \).

  • \( f'(x) < 0 \) при \( 4 < x < 7 \): функция убывает на интервале \( (4; 7) \).

• Критическая точка: \( f'(4) = 0 \). Так как функция меняет возрастание на убывание в точке \( x = 4 \), это точка максимума. Значение \( f(4) \) должно быть больше \( f(-1) = 0 \) и \( f(7) = -2 \).

Эскиз: График начинается в точке \( (-1; 0) \), возрастает до точки максимума \( (4; f(4)) \), где касательная горизонтальна, а затем убывает до точки \( (7; -2) \).

Пояснение: Функция непрерывна на \([-5; 4]\). Используем данные для построения эскиза.

• Границы и значения: Точки \( (-5; 1) \) и \( (4; -3) \).

• Монотонность:

  • \( f'(x) < 0 \) при \( -5 < x < -1 \): функция убывает на интервале \( (-5; -1) \).

  • \( f'(x) > 0 \) при \( -1 < x < 4 \): функция возрастает на интервале \( (-1; 4) \).

• Критическая точка: \( f'(-1) = 0 \). Так как функция меняет убывание на возрастание в точке \( x = -1 \), это точка минимума. Значение \( f(-1) \) должно быть меньше \( f(-5) = 1 \) и \( f(4) = -3 \). Поскольку \( f(4) = -3 \), то \( f(-1) \) должно быть меньше \( -3 \).

Эскиз: График начинается в точке \( (-5; 1) \), убывает до точки минимума \( (-1; f(-1)) \), где касательная горизонтальна, а затем возрастает до точки \( (4; -3) \).

• меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
• меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
• не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.