ГДЗ: Упражнение 266 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо найти показатель степени \( x \), в которую нужно возвести основание \( 3 \), чтобы получить число \( 3 \).
Искомый логарифм — это \( \log_3 3 \).
По определению логарифма, \( 3^x = 3 \).
Так как \( 3 = 3^1 \), то \( 3^x = 3^1 \), следовательно, \( x = 1 \).
Это также следует из свойства: \( \log_a a = 1 \).

Необходимо найти \( \log_3 9 \).
По определению логарифма, \( 3^x = 9 \).
Так как \( 9 = 3^2 \), то \( 3^x = 3^2 \), следовательно, \( x = 2 \).

Необходимо найти \( \log_3 27 \).
По определению логарифма, \( 3^x = 27 \).
Так как \( 27 = 3^3 \), то \( 3^x = 3^3 \), следовательно, \( x = 3 \).

Необходимо найти \( \log_3 81 \).
По определению логарифма, \( 3^x = 81 \).
Так как \( 81 = 3^4 \), то \( 3^x = 3^4 \), следовательно, \( x = 4 \).

Необходимо найти \( \log_3 1 \).
По определению логарифма, \( 3^x = 1 \).
Так как \( 1 = 3^0 \), то \( 3^x = 3^0 \), следовательно, \( x = 0 \).
Это также следует из свойства: \( \log_a 1 = 0 \).

Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{3} \).
По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{3} \).
Так как \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \), то \( 3^x = 3^{-1} \), следовательно, \( x = -1 \).

Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{9} \).
По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{9} \).
Так как \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \), то \( 3^x = 3^{-2} \), следовательно, \( x = -2 \).

Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{243} \).
По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{243} \).
Так как \( 243 = 3^5 \), то \( \frac{1}{243} = 3^{-5} \).
Следовательно, \( 3^x = 3^{-5} \), откуда \( x = -5 \).

Необходимо найти \( \log_3 \sqrt{3} \).
По определению логарифма, \( 3^x = \sqrt{3} \).
Так как \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \), то \( 3^x = 3^{\frac{1}{2}} \), следовательно, \( x = \frac{1}{2} \).

Необходимо найти \( \log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} \).
По определению логарифма, \( 3^x = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Так как \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}} \), то \( 3^x = 3^{-\frac{1}{2}} \), следовательно, \( x = -\frac{1}{2} \).

Необходимо найти \( \log_3 (9\sqrt{3}) \).
Перепишем аргумент логарифма в виде степени с основанием \( 3 \):
\( 9\sqrt{3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{2 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \).
Тогда \( \log_3 (9\sqrt{3}) = \log_3 3^{\frac{5}{2}} \).
По свойству \( \log_a a^p = p \), получаем \( \frac{5}{2} \).