ГДЗ: Упражнение 278 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Логарифм \( \log_a f(x) \) существует, если \( f(x) > 0 \), \( a > 0 \), и \( a \neq 1 \).
Здесь основание \( a = 4 \). Условия \( 4 > 0 \) и \( 4 \neq 1 \) выполнены.
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( 4 - x > 0 \).
Решаем неравенство:
\( -x > -4 \)
\( x < 4 \).
Таким образом, логарифм существует при \( x \in (-\infty; 4) \).

Основание \( a = 0,2 \). Условия \( 0,2 > 0 \) и \( 0,2 \neq 1 \) выполнены.
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( 7 - x > 0 \).
Решаем неравенство:
\( -x > -7 \)
\( x < 7 \).
Таким образом, логарифм существует при \( x \in (-\infty; 7) \).

Основание \( a = 6 \). Условия \( 6 > 0 \) и \( 6 \neq 1 \) выполнены.
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( \frac{1}{1 - 2x} > 0 \).
Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель \( 1 > 0 \), то знаменатель также должен быть положительным:
\( 1 - 2x > 0 \).
Решаем неравенство:
\( -2x > -1 \)
\( 2x < 1 \)
\( x < \frac{1}{2} \).
Таким образом, логарифм существует при \( x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \).

Основание \( a = 8 \). Условия \( 8 > 0 \) и \( 8 \neq 1 \) выполнены.
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( \frac{5}{2x - 1} > 0 \).
Дробь положительна. Так как числитель \( 5 > 0 \), то знаменатель также должен быть положительным:
\( 2x - 1 > 0 \).
Решаем неравенство:
\( 2x > 1 \)
\( x > \frac{1}{2} \).
Таким образом, логарифм существует при \( x \in (\frac{1}{2}; +\infty) \).

Основание \( a = 2 \). Условия \( 2 > 0 \) и \( 2 \neq 1 \) выполнены.
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( -x^2 > 0 \).
Так как \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного \( x \), то \( -x^2 \le 0 \).
Следовательно, неравенство \( -x^2 > 0 \) не имеет решений.
Таким образом, логарифм не существует ни при каких действительных значениях \( x \).

Основание \( a = 0,7 \). Условия \( 0,7 > 0 \) и \( 0,7 \neq 1 \) выполнены.
Требуется, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля:
\( 2x^3 > 0 \).
Так как \( 2 > 0 \), то неравенство эквивалентно:
\( x^3 > 0 \).
Это неравенство выполняется, когда \( x > 0 \).
Таким образом, логарифм существует при \( x \in (0; +\infty) \).