ГДЗ: Упражнение 280 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Перейдем к основанию \( 3 \): \( 9 = 3^2 \).
\( 9^{2 \log_3 5} = (3^2)^{2 \log_3 5} = 3^{4 \log_3 5} \).
Используем свойство \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 3^{4 \log_3 5} = 3^{\log_3 5^4} \).
Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 3^{\log_3 5^4} = 5^4 = 625 \).

Перейдем к основанию \( 3 \): \( \frac{1}{9} = 3^{-2} \).
\( (\frac{1}{9})^{\log_3 4} = (3^{-2})^{\log_3 4} = 3^{-2 \log_3 4} \).
Используем свойство \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 3^{-2 \log_3 4} = 3^{\log_3 4^{-2}} = 3^{\log_3 \frac{1}{16}} \).
Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).
\( 3^{\log_3 \frac{1}{16}} = \frac{1}{16} \).

Используем свойство степеней: \( a^{b+c} = a^b a^c \).
\( (\frac{1}{4})^{1 + \log_2 3} = (\frac{1}{4})^1 \cdot (\frac{1}{4})^{\log_2 3} \).
Перейдем к основанию \( 2 \): \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \).
\( (\frac{1}{4})^{\log_2 3} = (2^{-2})^{\log_2 3} = 2^{-2 \log_2 3} \).
Используем свойство \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 2^{-2 \log_2 3} = 2^{\log_2 3^{-2}} = 2^{\log_2 \frac{1}{9}} \).
По основному логарифмическому тождеству: \( 2^{\log_2 \frac{1}{9}} = \frac{1}{9} \).
Возвращаемся к исходному выражению:
\( (\frac{1}{4})^1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{36} \).

Перейдем к основанию \( 2 \): \( 4 = 2^2 \).
\( 4^{ -\log_2 5} = (2^2)^{-\log_2 5} = 2^{-2 \log_2 5} \).
Используем свойство \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 2^{-2 \log_2 5} = 2^{\log_2 5^{-2}} = 2^{\log_2 \frac{1}{25}} \).
По основному логарифмическому тождеству: \( 2^{\log_2 \frac{1}{25}} = \frac{1}{25} \).

Используем свойство степеней: \( a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c} \).
\( 10^{3 - \log_{10} 5} = \frac{10^3}{10^{\log_{10} 5}} \).
Вычислим числитель и знаменатель:
1. Числитель: \( 10^3 = 1000 \).
2. Знаменатель: \( 10^{\log_{10} 5} = 5 \) (по основному логарифмическому тождеству).
Тогда выражение равно \( \frac{1000}{5} = 200 \).

Используем свойство степеней: \( a^{b+c} = a^b a^c \).
\( (\frac{1}{7})^{1 + 2 \log_7 3} = (\frac{1}{7})^1 \cdot (\frac{1}{7})^{2 \log_7 3} \).
Перейдем к основанию \( 7 \): \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \).
\( (\frac{1}{7})^{2 \log_7 3} = (7^{-1})^{2 \log_7 3} = 7^{-2 \log_7 3} \).
Используем свойство \( p \log_a b = \log_a b^p \):
\( 7^{-2 \log_7 3} = 7^{\log_7 3^{-2}} = 7^{\log_7 \frac{1}{9}} \).
По основному логарифмическому тождеству: \( 7^{\log_7 \frac{1}{9}} = \frac{1}{9} \).
Возвращаемся к исходному выражению:
\( (\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{63} \).