ГДЗ: Упражнение 279 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем свойство логарифма частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \).
\( \log_2 \frac{\sqrt{2}}{4} = \log_2 \sqrt{2} - \log_2 4 \).
Вычислим логарифмы:
1. \( \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \).
2. \( \log_2 4 = 2 \), так как \( 2^2 = 4 \).
Подставим значения: \( \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \).

Перепишем аргумент как степень с основанием \( 3 \):
\( \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = 3^{-\frac{3}{2}} \).
Тогда \( \log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} = \log_3 3^{-\frac{3}{2}} \).
По свойству \( \log_a a^p = p \), получаем \( -\frac{3}{2} \).

Основание \( a = 0,5 = \frac{1}{2} \). Аргумент \( b = \frac{1}{\sqrt{32}} \).
Перепишем аргумент как степень с основанием \( \frac{1}{2} \):
\( \sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}} \).
\( \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} = 2^{-\frac{5}{2}} \).
Так как \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), то \( 2 = (\frac{1}{2})^{-1} \).
\( 2^{-\frac{5}{2}} = ( (\frac{1}{2})^{-1} )^{-\frac{5}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{5}{2}} \).
Тогда \( \log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2} \).

Используем свойство логарифма частного: \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \).
\( \log_7 \frac{\sqrt{7}}{49} = \log_7 \sqrt{7} - \log_7 49 \).
Вычислим логарифмы:
1. \( \log_7 \sqrt{7} = \log_7 7^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \).
2. \( \log_7 49 = 2 \), так как \( 7^2 = 49 \).
Подставим значения: \( \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \).