ГДЗ: Упражнение 288 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Логарифм \( \log_a f(x) \) существует при выполнении трех условий:
1. Аргумент \( > 0 \): \( 2x - 1 > 0 \).
2. Основание \( > 0 \): \( x > 0 \).
3. Основание \( \neq 1 \): \( x \neq 1 \).
Шаг 1: Решим первое условие:
\( 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \).
Шаг 2: Учтем второе условие:
\( x > \frac{1}{2} \) уже включает условие \( x > 0 \).
Шаг 3: Учтем третье условие:
\( x \neq 1 \).
Объединяя все условия, получим:
\( x > \frac{1}{2} \) и \( x \neq 1 \).
Таким образом, выражение имеет смысл при \( x \in (\frac{1}{2}; 1) \cup (1; +\infty) \).

Логарифм \( \log_a f(x) \) существует при выполнении трех условий:
1. Аргумент \( > 0 \): \( x + 1 > 0 \).
2. Основание \( > 0 \): \( 2x - 1 > 0 \).
3. Основание \( \neq 1 \): \( 2x - 1 \neq 1 \).
Шаг 1: Решим первое условие:
\( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \).
Шаг 2: Решим второе условие:
\( 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \).
Шаг 3: Решим третье условие:
\( 2x - 1 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq 2 \Rightarrow x \neq 1 \).
Шаг 4: Найдем пересечение всех условий:
Условия \( x > -1 \) и \( x > \frac{1}{2} \) вместе дают \( x > \frac{1}{2} \).
Исключаем \( x = 1 \).
Таким образом, выражение имеет смысл при \( x \in (\frac{1}{2}; 1) \cup (1; +\infty) \).