ГДЗ: Упражнение 271 - § 15 (Логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Основание \( a = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Аргумент \( b = \frac{1}{32} = 2^{-5} = (2^{-1})^5 = (\frac{1}{2})^5 \).
Тогда \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^5 = 5 \).

Основание \( a = \frac{1}{2} \). Аргумент \( b = 4 \).
По определению: \( (\frac{1}{2})^x = 4 \).
Так как \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \) и \( 4 = 2^2 \), то \( (2^{-1})^x = 2^2 \), или \( 2^{-x} = 2^2 \).
Откуда \( -x = 2 \), то есть \( x = -2 \).

Основание \( a = 0,5 = \frac{1}{2} \). Аргумент \( b = 0,125 = \frac{1}{8} \).
По определению: \( (0,5)^x = 0,125 \).
Так как \( 0,125 = (0,5)^3 \), то \( (0,5)^x = (0,5)^3 \), откуда \( x = 3 \).

Основание \( a = 0,5 \). Аргумент \( b = \frac{1}{2} = 0,5 \).
По свойству \( \log_a a = 1 \), получаем \( 1 \).

По свойству \( \log_a 1 = 0 \), получаем \( 0 \).

Основание \( a = 4 = 2^2 \). Аргумент \( b = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \).
По определению: \( 4^x = \sqrt{2} \).
\( (2^2)^x = 2^{\frac{1}{2}} \), или \( 2^{2x} = 2^{\frac{1}{2}} \).
Откуда \( 2x = \frac{1}{2} \), то есть \( x = \frac{1}{4} \).